Prosent av antall sauer 1P V26

En bonde har \(60\) sauer. \(80 \, \%\) av sauene skal slaktes.

Fasit

\(\underline{\underline{48 \text{ sauer}}}\)

Løsningsforslag

Vi skal finne \(80 \, \%\) av \(60\).

Vi regner ut:

48 sauer skal slaktes.

Vannforbruk per måned i liter 1P V26

En familie leser av vannmåleren og ser at de i løpet av det siste året har brukt \(120 \mathrm{~m^3}\) vann.

Fasit

\(\underline{\underline{10\,000 \, \mathrm{L}}}\) per måned

Løsningsforslag

Vi vet at \(1 \, \mathrm{m}^3 = 1\,000 \, \mathrm{L}\).

Først gjør vi om \(120 \, \mathrm{m}^3\) til liter:

Så finner vi gjennomsnittlig forbruk per måned ved å dele på 12:

Familien har i gjennomsnitt brukt \(\underline{\underline{10\,000 \, \mathrm{L}}}\) vann per måned.

Multiplikasjon av store og små tall 1P V26

Fasit

\(2000\)

Løsningsforslag

Vi skriver tallene på standardform:

Deretter multipliserer vi:

Omvendt proporsjonal tabell 1P V26

Fasit

Løsningsforslag

Når to størrelser er omvendt proporsjonale, er produktet av dem alltid det samme (konstant).

Vi finner konstanten fra første kolonne:

Nå kan vi fylle inn de manglende verdiene.

Antall = 20:

Pris = 100 kr:

Den utfylte tabellen blir:

Sortere potensuttrykk i stigende rekkefølge 1P V26

Fasit

\(10^{-1} < 3^{-2} < \dfrac{1}{2^3} < \sqrt{81} < 2 \cdot 2^4 < 10^2 < \sqrt{10^6}\)

Løsningsforslag

Vi regner ut hvert uttrykk for seg.

\(10^{-1}\)

\(3^{-2}\)

\(\dfrac{1}{2^3}\)

\(\sqrt{81}\)

\(2 \cdot 2^4\)

\(10^2\)

\(\sqrt{10^6}\)

Vi har nå:

Stigende rekkefølge:

Prosent opp og prosent ned 1P V26

Prisen for en vare settes opp med \(10 \, \%\).
Litt senere settes prisen ned igjen med \(10 \, \%\).

Fasit

Varen koster mindre enn opprinnelig pris — den koster \(99 \,\%\) av opprinnelig pris.

Løsningsforslag

La oss kalle den opprinnelige prisen for \(P\).

Steg 1: Prisen settes opp med \(10 \,\%\)

Når prisen øker med \(10 \,\%\), bruker vi vekstfaktoren \(1{,}10\).

Steg 2: Prisen settes ned med \(10 \,\%\)

Når prisen senkes med \(10 \,\%\), bruker vi vekstfaktoren \(0{,}90\).

De to endringene skjer etter hverandre, så vi multipliserer vekstfaktorene:

Steg 3: Beregn den samlede vekstfaktoren

Dermed er den endelige prisen \(P \cdot 0{,}99\).

Konklusjon:

Siden den samlede vekstfaktoren er \(0{,}99\), som er mindre enn \(1\), koster varen \(\mathbf{mindre}\) enn opprinnelig. Varen koster \(99 \,\%\) av den opprinnelige prisen — altså \(1 \,\%\) mindre enn før de to prisendringene.

Grunnen til at prisen ikke havner tilbake til det opprinnelige er at de to endringene ikke er symmetriske: den første oppgangen på \(10 \,\%\) regnes av den lave opprinnelige prisen, mens den påfølgende nedgangen på \(10 \,\%\) regnes av den høyere prisen etter oppgangen. Dermed trekkes det ned mer enn det ble lagt til, og prisen ender opp lavere enn der den startet.

Verditap av båt etter seks år 1P V26

Christoffer har kjøpt ny båt. Båtens verdi er \(850\,000\) kroner. Anta at verdien vil falle med \(20 \, \%\) det første året og så med \(6 \, \%\) per år de neste fem årene.

Fasit

\(\underline{\underline{850\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}94^5}}\)

Løsningsforslag

Det første året faller verdien med \(20 \,\%\). Det betyr at båten beholder \(80 \,\%\) av verdien, og vekstfaktoren er \(\textcolor{steelblue}{0{,}80}\).

De neste fem årene faller verdien med \(6 \,\%\) hvert år. Det betyr at båten beholder \(94 \,\%\) per år, og vekstfaktoren er \(\textcolor{seagreen}{0{,}94}\) per år. Over fem år blir den samlede vekstfaktoren \(\textcolor{seagreen}{0{,}94^5}\).

Vi kan sette opp en tabell for å se utviklingen:

Verdien etter seks år kan derfor skrives som:

Uttrykket som kan brukes for å regne ut båtens verdi etter seks år er \(\underline{\underline{850\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}94^5}}\).

Vekt av stålplate fra volum og tetthet 1P V26

En stålplate har form som et rektangel.
Platen er \(1000 \mathrm{~mm}\) lang, \(500 \mathrm{~mm}\) bred og \(6 \mathrm{~mm}\) tykk.

Stål har en massetetthet på \(8 \mathrm{~g/cm^3}\).

Fasit

\(\underline{\underline{24 \, \mathrm{kg}}}\)

Løsningsforslag

Vi må gjøre om målene fra millimeter til centimeter slik at enhetene stemmer med massetetthet oppgitt i \(\mathrm{g/cm^3}\).

Vi bruker at \(1 \, \mathrm{cm} = 10 \, \mathrm{mm}\), så vi deler på 10:

Volumet av platen finner vi med formelen \(V = l \cdot b \cdot h\):

Vekten finner vi ved å gange volumet med massetetthet:

Vi gjør om til kilogram (deler på 1000):

Stålplaten veier \(24 \, \mathrm{kg}\).

Lineær modell for bom i hyttefelt 1P V26

Petter, Ola og Ine eier hver sin hytte. Hyttene ligger i et stort hyttefelt. På veien inn til hyttefeltet er det satt opp en bom. Alle hytteeierne må betale en fast årsavgift for å kunne bruke veien. I tillegg må de betale for hver bompassering.

• I fjor passerte Petter bommen \(40\) ganger. Han betalte til sammen \(3200\) kroner i årsavgift og for passeringer.
• Ola passerte bommen \(100\) ganger og betalte til sammen \(6200\) kroner.

Ine betalte til sammen \(5200\) kroner.

Fasit

a) Årsavgift: \(\underline{\underline{1200 \, \mathrm{kr}}}\), pris per passering: \(\underline{\underline{50 \, \mathrm{kr}}}\)
b) \(\underline{\underline{y = 50x + 1200}}\)
c) \(\underline{\underline{x = 80 \text{ passeringer}}}\)

Løsningsforslag

a

Vi lar \(a\) være prisen per bompassering og \(b\) være den faste årsavgiften.

Fra opplysningene om Petter og Ola setter vi opp to likninger:

Vi trekker likning \((1)\) fra likning \((2)\):

Prisen per bompassering er \(\underline{\underline{50 \, \mathrm{kr}}}\).

Vi setter \(a = 50\) inn i likning \((1)\) for å finne årsavgiften:

Den faste årsavgiften er \(\underline{\underline{1200 \, \mathrm{kr}}}\).

b

Vi lar \(x\) være antall bompasseringer og \(y\) være den totale prisen i kroner. Da er modellen:

c

Ine betalte totalt \(5200\) kroner. Vi setter \(y = 5200\) inn i modellen og løser for \(x\):

Ine passerte bommen \(\underline{\underline{80 \text{ ganger}}}\).

Tallfølge med mønsterformel 1T V26

Susanne arbeider med tallfølgen

Hun ser et mønster og skriver

Fasit

a) \(\underline{\underline{57}}\)
b) \(\underline{\underline{a_n = (n-1) \cdot n + 1}}\)

Løsningsforslag

a

Mønsteret viser at tall nummer \(n\) er gitt ved \((n-1) \cdot n + 1\).

Vi setter inn \(n = 8\):

Tall nummer 8 i tallfølgen er \(\underline{\underline{57}}\).

b

Fra mønsteret ser vi at tall nummer \(n\) er

Dette kan også skrives som

Andregradskostnadsfunksjon med ukjent koeffisient 1P V26

En bedrift produserer en vare. Kostnadene \(K(x)\) kroner ved produksjon av \(x\) enheter av varen er gitt ved

Det koster \(30\,000\) kroner å produsere \(50\) enheter.

Fasit

a) \(\underline{\underline{K(0) = 20\,000 \, \mathrm{kr}}}\) — de faste kostnadene
b) \(\underline{\underline{b = 150}}\)

Løsningsforslag

a

Vi setter inn \(x = 0\) i uttrykket for \(K(x)\):

\(K(0) = 20\,000 \, \mathrm{kr}\)

\(K(0)\) er kostnaden når bedriften produserer \(0\) enheter. Dette er de faste kostnadene — altså kostnader som ikke avhenger av hvor mye som produseres (for eksempel husleie, maskiner og lignende).

b

Vi vet at det koster \(30\,000 \, \mathrm{kr}\) å produsere \(50\) enheter, det vil si \(K(50) = 30\,000\).

Vi setter inn \(x = 50\):

Siden \(K(50) = 30\,000\) setter vi opp likningen:

Vi trekker \(22\,500\) fra begge sider:

Vi deler begge sider på \(50\):

\(b = 150\)

Proporsjonalitet i formel for lufttetthet 1P V26

Lufttetthet er et mål på hvor mye luftmasse det er i et bestemt volum – altså hvor tettpakket luften er.

I tørr luft er sammenhengen mellom lufttettheten \(L\), trykket \(p\) og temperaturen \(T\) gitt ved

Fasit

Påstand 1: Sann

Påstand 2: Usann (eller: sann bare når trykket er konstant)

Løsningsforslag

Påstand 1: Sann

Formelen er

Når temperaturen \(T\) er konstant, er \(287 \cdot T\) et fast tall. Vi kan da skrive formelen som

To størrelser er proporsjonale når den ene er en konstant multiplisert med den andre. Siden \(L = k \cdot p\) med konstant \(k\), er lufttetthet og trykk proporsjonale størrelser når temperaturen er konstant.

Påstanden er sann.

Påstand 2: Usann

To størrelser er omvendt proporsjonale dersom produktet deres alltid er konstant. Vi sjekker om produktet \(L \cdot T\) er konstant.

Fra formelen får vi

Produktet \(L \cdot T\) er lik \(\dfrac{p}{287}\). Dette er bare konstant dersom trykket \(p\) er konstant. Påstanden sier ingenting om at trykket er konstant – den gjelder generelt.

Siden \(L \cdot T\) ikke er konstant når trykket kan variere, er lufttetthet og temperatur ikke omvendt proporsjonale størrelser generelt.

Påstanden er usann.

Tolke fuglebestand i Python-kode 1P V26

I 2026 består en fuglebestand av \(20\,000\) individer. Sofie er forsker. Hun antar at bestanden vil minke de kommende årene. Hun har laget to modeller og skrevet programkoden nedenfor.

123456789101112131415x = 0       # x er antall år etter 2026

def f(x):
    return 20000 - 300 * x

def g(x):
    return 20000 * 0.984 ** x

while f(x) >= g(x):
    x = x + 1

print("Resultat:")
print(x)
print(f(x))
print(g(x))

Resultat:
10
17000
17020.83963620087

Fasit

a) \(f\) er en lineær modell der bestanden minker med \(\underline{\underline{300 \text{ individer per år}}}\). \(g\) er en eksponentiell modell der bestanden minker med \(\underline{\underline{1{,}6 \,\%\text{ per år}}}\).
b) Sofie ønsker å finne det første året der den eksponentielle modellen gir større bestand enn den lineære. Svaret er \(\underline{\underline{x = 10}}\), dvs. i år \(\underline{\underline{2036}}\), da er \(f(10) = 17\,000\) og \(g(10) \approx 17\,021\).

Løsningsforslag

a

Modellen \(f(x) = 20\,000 - 300x\) er en lineær modell.

\(x\) er antall år etter 2026. For hvert år som går, trekker vi fra \(300\) individer. Bestanden minker altså med et konstant antall på \(300\) individer per år, uansett hvor stor bestanden er.

Modellen \(g(x) = 20\,000 \cdot 0{,}984^x\) er en eksponentiell modell.

Vekstfaktoren er \(0{,}984\). Siden \(0{,}984 = 1 - 0{,}016\), betyr dette at bestanden minker med \(1{,}6 \,\%\) per år. Nedgangen regnes av den nåværende bestanden, slik at antall individer som forsvinner blir stadig færre etter hvert som bestanden krymper.

Begge modellene starter på \(20\,000\) individer i 2026 (når \(x = 0\)).

b

Hva ønsker Sofie å finne ut?

Sofie ønsker å finne ut hvilket år den eksponentielle modellen \(g\) for første gang gir en høyere bestand enn den lineære modellen \(f\). Med andre ord: når «henter» \(g\) inn igjen \(f\)?

Slik fungerer while-løkken:

Løkken starter med \(x = 0\) og øker \(x\) med \(1\) for hvert steg, så lenge \(f(x) \geq g(x)\). Den stopper første gang \(g(x) > f(x)\).

I starten (ved \(x = 0\)) er begge modellene like: \(f(0) = g(0) = 20\,000\). De første årene synker \(f\) raskere enn \(g\) i absolutt antall, fordi \(300\) av \(20\,000\) tilsvarer \(1{,}5 \,\%\) per år – altså et litt større prosentfall enn \(g\)s \(1{,}6 \,\%\) per år. Etter hvert som bestanden ifølge \(g\) krymper, krymper også det absolutte fallet i \(g\) – mens \(f\) fortsetter å falle med nøyaktig \(300\) hvert år. Derfor vil \(g\) til slutt «passere» \(f\) ovenfra.

Hva forteller utskriften?

Resultat:
10
17000
17020.83963620087

• \(x = 10\): det skjer 10 år etter 2026, altså i år 2036
• \(f(10) = 17\,000\): den lineære modellen gir \(17\,000\) individer i 2036
• \(g(10) \approx 17\,021\): den eksponentielle modellen gir omtrent \(17\,021\) individer i 2036

Fra og med 2036 forutsier den eksponentielle modellen en større fuglebestand enn den lineære modellen.

CO2-utslipp og optimal fart 1T V26

Fru Hansen eier en gammel bil. Når hun kjører med en fart på \(x\) km/h, slipper bilen ut \(U(x)\) gram CO₂ per kilometer, der \(U(x)\) er gitt ved

Fru Hansen kjører med en fart på \(90 \mathrm{~km/h}\) i \(20\) minutter.

Fasit

a) \(\underline{\underline{U(50) = 176{,}5 \, \mathrm{g/km}}}\)
b) Minst utslipp ved fart \(\underline{\underline{x \approx 71{,}5 \, \mathrm{km/h}}}\), utslipp \(\underline{\underline{U(71{,}5) \approx 163{,}4 \, \mathrm{g/km}}}\)
c) \(\underline{\underline{\approx 5098 \, \mathrm{g} \approx 5{,}1 \, \mathrm{kg}}}\)

Løsningsforslag

Nedenfor vises grafen til \(U(x)\) med de tre aktuelle punktene markert. Grafen er laget med Python og matplotlib:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(30, 110, 500)
U = 5400/x + 0.0074*x**2 + 50

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 5.5))
ax.plot(x, U, color='steelblue', linewidth=2.2)

# Markerte punkter
ax.plot(50, 176.5, 'o', color='seagreen', markersize=9)   # a)
ax.plot(71.46, 163.36, 'o', color='tomato', markersize=9)  # b) minimum
ax.plot(90, 169.94, 'o', color='orange', markersize=9)     # c)

ax.set_xlabel('Fart x (km/h)')
ax.set_ylabel('CO2-utslipp U(x) (g/km)')
plt.savefig('1t-v26-2-1.png', dpi=150)

a

Vi setter inn \(x = 50\) i uttrykket for \(U(x)\):

Bilen slipper ut \(176{,}5\) gram CO₂ per kilometer ved \(50 \, \mathrm{km/h}\).

b

Vi finner minimum ved å derivere \(U(x)\) og sette den deriverte lik null.

Vi setter \(U'(x) = 0\):

Fra grafen ser vi at \(U(x)\) har et bunnpunkt (minimum) ved \(x \approx 71{,}5\), som stemmer med utregningen.

Vi regner ut utslippet ved denne farten:

Minst utslipp per kilometer er \(163{,}4 \, \mathrm{g/km}\), og oppnås ved fart \(\approx 71{,}5 \, \mathrm{km/h}\).

c

Vi setter inn \(x = 90\) og finner utslippet per kilometer:

Fru Hansen kjører i \(20\) minutter med fart \(90 \, \mathrm{km/h}\). Vi finner strekningen:

Totalt CO₂-utslipp over de \(30 \, \mathrm{km}\):

Bilen slipper ut omtrent \(5098\) gram (\(5{,}1 \, \mathrm{kg}\)) CO₂ i løpet av disse \(20\) minuttene.

Prosentpoeng og prosent for styringsrenten 1P V26

I september 2025 satte Norges Bank ned styringsrenten fra \(4{,}25 \, \%\) til \(4 \, \%\).

Fasit

a) \(\underline{\underline{0{,}25 \text{ prosentpoeng}}}\)
b) \(\underline{\underline{\approx 5{,}9 \,\%}}\)

Løsningsforslag

a

Prosentpoeng er den direkte differansen mellom to prosenttall.

Styringsrenten ble satt ned med \(\underline{\underline{0{,}25}}\) prosentpoeng.

b

Prosentvis nedgang forteller hvor stor endringen er sammenliknet med utgangspunktet. Vi deler nedgangen på den opprinnelige renten.

Styringsrenten ble satt ned med omtrent \(\underline{\underline{5{,}9 \,\%}}\).

Vipebestand med eksponentielle modeller 1T V26

Vipa er kritisk truet fuglearti Norge.

I 2013 ble bestanden av viper anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par.

Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover. Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell.

La \(x\) være antall år etter 2013.

Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til vipa. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg.

Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen \(p\). Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen \(q\). Nedenfor ser du grafene til de to modellene.

Fasit

a) \(f(x) = -\dfrac{6500}{9}x + 9000 \approx -722{,}2x + 9000\)
b) \(g(x) = 9000 \cdot 0{,}867^x\)
c) \(p(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x\), \(\quad q(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x + 2000\)

Løsningsforslag

a

Vi bruker de to datapunktene \((0, 9000)\) og \((9, 2500)\).

En lineær modell har formen \(f(x) = ax + b\).

Siden \(x = 0\) svarer til år 2013 og bestanden da var 9000, får vi direkte

Stigningstallet finner vi ved

Den lineære modellen er

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen synker bestanden med omtrent \(\mathbf{722}\) par per år. Modellen predikerer at bestanden faller til null rundt \(x \approx 12{,}5\), dvs. rundt år 2025–2026.

b

En eksponentiell modell har formen \(g(x) = 9000 \cdot b^x\) (startverdi 9000 ved \(x = 0\)).

Vi bruker punktet \((9, 2500)\):

Den eksponentielle modellen er

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen avtar bestanden med ca. \(\mathbf{13{,}3\,\%}\) per år (siden \(b \approx 0{,}867\) betyr \(1 - 0{,}867 = 0{,}133 = 13{,}3\,\%\) nedgang). Bestanden nærmer seg null, men når aldri null.

c

Egils antakelse: Egil antar at bestanden ikke vil falle til null, men stabilisere seg på 2000 par. Modell \(q\) har derfor en horisontal asymptote ved \(y = 2000\).

Konstruksjon av \(p\):

Egil lager først modellen \(p\) ved å trekke fra 2000 fra alle bestandsverdier – han ser på den «overskytende» bestanden utover 2000 par:

• Ved \(x = 0\): \(9000 - 2000 = 7000\)
• Ved \(x = 9\): \(2500 - 2000 = 500\)

Modellen \(p\) er eksponentiell med startverdi 7000:

Vi finner \(c\) fra punktet \((9, 500)\):

Konstruksjon av \(q\):

Egil hever \(p\) opp med 2000 (legger tilbake det han trakk fra) slik at bestanden stabiliserer seg ved 2000 par:

Tolkning: Modell \(q\) har horisontal asymptote \(y = 2000\): bestanden avtar fortsatt eksponentielt, men tilnærmer seg 2000 par på sikt uten å falle under det. Dette gjenspeiler antakelsen om at vernearbeidet vil stabilisere bestanden på minst 2000 par.

Energiforbruk og kostnad ved varmtvannsdusj 1P V26

For å varme opp \(1\) liter vann \(1\) grad celsius kreves en energi på \(4184\) joule (J).

Når kaldt vann kommer inn i en varmtvannstank, er temperaturen omtrent \(10 \degree \mathrm{C}\). I varmtvannstanken varmes vannet opp til \(70 \degree \mathrm{C}\).

Når Martin dusjer, bruker han \(15\) liter vann per minutt. Vannet i dusjen er en blanding av varmt vann fra varmtvannstanken og kaldt vann med en temperatur på \(10 \degree \mathrm{C}\). Vannet i dusjen har en temperatur på \(40 \degree \mathrm{C}\).

Martin har funnet ut at han kan bruke formelen nedenfor til å finne ut hvor mange liter vann \(V\) fra varmtvannstanken han bruker per minutt når temperaturen på vannet i dusjen er \(T \degree \mathrm{C}\)

En dag dusjer Martin i \(10\) minutter. Vannet i dusjen har en temperatur på \(40 \degree \mathrm{C}\).

Når vi betaler for den elektriske energien vi bruker, betaler vi per kilowattime (kWh).

En morgen var strømprisen \(134\) øre per kWh.

Fasit

a) \(E = 100 \cdot 4184 \cdot 60 = 25\,104\,000 \mathrm{~J} \approx \underline{\underline{2{,}51 \cdot 10^7 \mathrm{~J}}}\)
b) \(\underline{\underline{75 \mathrm{~L}}}\) fra varmtvannstanken
c) \(\underline{\underline{E \approx 1{,}88 \cdot 10^7 \mathrm{~J}}}\)
d) \(\underline{\underline{\approx 7{,}01 \mathrm{~kr}}}\)

Løsningsforslag

a

For å varme opp \(100 \mathrm{~L}\) vann fra \(10 \degree\mathrm{C}\) til \(70 \degree\mathrm{C}\) er temperaturdifferansen

Energien som kreves er

der \(\textcolor{steelblue}{100}\) er antall liter og \(\textcolor{seagreen}{60}\) er grader som vannet varmes opp.

Dette stemmer med det vi skulle vise. \(\underline{\underline{E \approx 2{,}51 \cdot 10^7 \mathrm{~J}}}\)

b

Formelen gir antall liter fra varmtvannstanken per minutt når temperaturen på dusjen er \(T \degree\mathrm{C}\):

Martin dusjer ved \(T = 40 \degree\mathrm{C}\), så han bruker

fra varmtvannstanken. På \(10\) minutter bruker han

\(\underline{\underline{75 \mathrm{~L}}}\) fra varmtvannstanken.

c

Vannet fra varmtvannstanken er varmt opp fra \(10 \degree\mathrm{C}\) til \(70 \degree\mathrm{C}\), altså en temperaturdifferanse på \(\Delta T = 60 \degree\mathrm{C}\).

Martin bruker \(75 \mathrm{~L}\) fra varmtvannstanken (fra deloppgave b), så energien som kreves er

d

Vi gjør om energien fra joule til kilowattime. Vi vet at \(1 \mathrm{~kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6 \mathrm{~J}\), så

Strømprisen er \(134\) øre per kWh, og kostnaden blir

\(\underline{\underline{\text{Dusjen kostet Martin ca. }7{,}01 \mathrm{~kr}}}\)