S2 eksamen H2014

Oversikt over eksamensoppgavene

Del 1 — None timer — uten hjelpemidler

№	Navn	Temaer	LF
1-5	Enhetskostnader fra graf	enhetskostnad, økonomi, tolke grafer	×

Del 1

Oppgave 1-5

Enhetskostnader fra graf

Kostnadsfunksjon

I koordinatsystemet ser du grafen til en kostnadsfunksjon \(K\), markert med rødt på figuren. Det er også tegnet inn tre rette linjer. Disse har likningene

\[\begin{aligned} y&=4{,}46x\\ y&=3{,}43x\\ y&=2{,}06x+960 \end{aligned} \]

To av linjene tangerer grafen til funksjonen \(K(x)\) i henholdsvis \(A\) og \(B\).

Oppgave

Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 400 enheter.
Forklar at grensekostnaden ved produksjon av 400 enheter er 2,06 kroner per enhet.
Bestem den minste enhetskostnaden.

Kommentar

Jeg har fjernet formel for enhetskostnad fra oppgaven, siden jeg mener at denne bør være kjent for dere.

Fasit

a) 4,46 kr per enhet
b) Grensekostnaden er den deriverte av \(K\). Tangenten ved \(x=400\) har stigningstall 2,06 kr, derfor er grensekostnaden 2,06 kr.
c) 3,43 kr per enhet

Løsningsforslag

Enhetskostnaden ved produksjon av \(x\) enheter er definert som

\[E(x) = \frac{K(x)}{x} \]

Geometrisk tolkning: \(E(x)\) er stigningstallet til linjen fra origo til punktet \((x,\, K(x))\) på grafen til \(K\). Jo slakere denne linjen er, desto lavere er enhetskostnaden.

Grensekostnaden \(K'(x)\) er stigningstallet til tangenten til \(K\) i punktet \((x,\, K(x))\).

a

Vi skal finne enhetskostnaden ved \(x = 400\).

Fra figuren ser vi at linjen \(y = 4{,}46x\) går gjennom origo og tangerer (eller skjærer) grafen ved \(A\), der \(x = 400\). Stigningstallet til denne linjen er 4,46, som geometrisk svarer til

\[E(400) = \frac{K(400)}{400} = 4{,}46 \]

Enhetskostnaden ved produksjon av 400 enheter er \(\underline{\underline{4{,}46 \, \mathrm{kr}}}\) per enhet.

b

Grensekostnaden \(K'(x)\) er den deriverte av \(K\), og geometrisk er dette stigningstallet til tangenten til \(K\) i punktet \((x, K(x))\).

Fra oppgaven er \(y = 2{,}06x + 960\) tangenten til \(K\) ved \(x = 400\). Stigningstallet til tangenten er 2,06, og dermed er

\[K'(400) = 2{,}06 \]

Grensekostnaden ved produksjon av 400 enheter er \(\underline{\underline{2{,}06 \, \mathrm{kr}}}\) per enhet.

c

Den minste enhetskostnaden oppnås i det punktet \(B\) der linjen fra origo akkurat tangerer grafen til \(K\). For alle andre punkter på grafen vil en linje fra origo skjære grafen (og ikke bare berøre den), noe som gir et høyere stigningstall — altså høyere enhetskostnad.

Fra figuren er det linjen \(y = 3{,}43x\) som tangerer \(K\) i punktet \(B\). Stigningstallet 3,43 er det minste mulige stigningstallet for en linje fra origo til grafen, og dermed er

\[E_{\min} = 3{,}43 \]

Den minste enhetskostnaden er \(\underline{\underline{3{,}43 \, \mathrm{kr}}}\) per enhet.

Merk

I minimumspunktet for enhetskostnaden er enhetskostnaden lik grensekostnaden: \(E(x) = K'(x)\). Dette er fordi tangenten fra origo til \(K\) og tangenten til selve kurven \(K\) er den samme linjen i punkt \(B\).