Normalfordelte hjortebukker
Vekten \(X\) av voksne hjortebukker i en kommune er normalfordelt med forventningsverdi \(\mu = 100\) kg og med standardavvik \(\sigma=20\) kg.
- Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hjortebukk veier mindre enn 90 kg.
- Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hjortebukk veier mellom 90 og 110 kg.
Fasit
a) \(P(X < 90) \approx \mathbf{0{,}31}\)
b) \(P(90 < X < 110) \approx \mathbf{0{,}38}\)
Løsningsforslag
\(X\) er tilnærmet normalfordelt med \(\mu = 100\) og \(\sigma = 20\).
Vi standardiserer ved å bruke \(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\).
a
Vi finner \(P(X < 90)\):
\[P(X < 90) = P\!\left(Z < \frac{90 - 100}{20}\right) = P(Z < -0{,}5) = \Phi(-0{,}5)
\]
Fra normalfordelingstabellen leser vi av:
\[\Phi(-0{,}5) \approx 0{,}3085
\]
\(P(X < 90) \approx \underline{\underline{0{,}31}}\)
b
Vi finner \(P(90 < X < 110)\):
\[P(90 < X < 110) = P\!\left(\frac{90-100}{20} < Z < \frac{110-100}{20}\right) = P(-0{,}5 < Z < 0{,}5)
\]
\[= \Phi(0{,}5) - \Phi(-0{,}5)
\]
Vi bruker symmetrien i normalfordelingen: \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\), så \(\Phi(-0{,}5) = 1 - \Phi(0{,}5)\). Da kan vi skrive:
\[\Phi(0{,}5) - \Phi(-0{,}5) = \Phi(0{,}5) - (1 - \Phi(0{,}5)) = 2\cdot\Phi(0{,}5) - 1
\]
Fra tabellen er \(\Phi(0{,}5) \approx 0{,}6915\), og vi får:
\[2 \cdot 0{,}6915 - 1 = 0{,}3830
\]
\(P(90 < X < 110) \approx \underline{\underline{0{,}38}}\)