Simulere uttrekk av elevers karakter fra tilfeldig normalfordelt skole

Forskere ønsker å undersøke matematikkunnskapene til elever i videregående skole. Elever fra tre store skoler skal være med i undersøkelsen.

Karakterstatistikk fra de tre skolene viser at karakterene i matematikk er tilnærmet normalfordelt. Tabellen nedenfor viser forventningsverdi og standardavvik for hver av de tre skolene.

Forskerne skal trekke ut 20 elever. For hver elev de skal trekke, trekker de først en tilfeldig skole og deretter en tilfeldig elev fra den skolen.

Fasit

b) \(P(X>4)\approx 0{,}205\)

Løsningsforslag

a

from random import randint, gauss 
# henter nødvendige pakker for uniform fordeling og normalfordeling 

n = 20
sum_karakterer = 0
for i in range(n):
    # trekker et tilfeldig tall fra 1 til 3. Dette tilsvarer
    # skole A, B og C
    skole = randint(1,3)
    if skole == 1:
        # hvis det tilfeldige tallet er 1, så skal vi trekke 
        # tilfeldig elev fra skole A. I dette tilfellet har 
        # normalfordelingen my = 3.8 og sigma = 1.2             
        # # vi trekker en tilfeldig elev med gauss(mu, sigma)
        elev = gauss(3.8, 1.2)
    elif skole == 2:
        elev = gauss(3.4, 1.4)
    else:
        elev = gauss(4.1, 1.1)
    # vi legger til elevens karakter på summen
    sum_karakterer += elev

print(f"Gjennomsnittskarakteren til de {n} elevene er {sum_karakterer/n:.3f}.")

b

from random import randint, gauss 
# henter nødvendige pakker for uniform fordeling og normalfordeling 

N = 10_000
antall_gunstige = 0
for j in range(N):
    n = 20
    sum_karakterer = 0
    for i in range(n):
        # trekker et tilfeldig tall fra 1 til 3. 
        # Dette tilsvarer skole A, B og C
        skole = randint(1,3)
        if skole == 1:
            # hvis det tilfeldige tallet er 1, så skal vi trekke 
            # tilfeldig elev fra skole A. I dette tilfellet har 
            # normalfordelingen my = 3.8 og sigma = 1.2             
            # vi trekker en tilfeldig elev med gauss(mu, sigma)
            elev = gauss(3.8, 1.2)
        elif skole == 2:
            elev = gauss(3.4, 1.4)
        else:
            elev = gauss(4.1, 1.1)
        # vi legger til elevens karakter på summen
        sum_karakterer += elev
    if sum_karakterer/n > 4:
        # hvis snittkarakteren er over 4 så har vi et gunstig utfall
        antall_gunstige += 1

print(f"Etter {N} simuleringer estimerer jeg at sannsynligheten for at"
      f"gjennomsnittskarakteren er over 4 til {antall_gunstige/N:.4f}.")

Jeg brukte \(10\,000\) simuleringer og testet programmet noen ganger. Jeg så at estimatene mine lå mellom 0,200 og 0,210. Siden avvikene er små og programmet allerede bruker 6-7 sekunder på å kjøre, så velger jeg å ikke øke antall simuleringer, \(N\), for å oppnå bedre nøyaktighet.

Sannsynligheten for at gjennomsnittskarakteren til de 20 elevene er over 4 er estimert til 0,205 ved hjelp av programmet over.