Lønn for Ina på søylediagram

Ina har en deltidsjobb. Forrige uke jobbet hun tre dager. Diagrammet nedenfor viser hvor mye hun tjente.

Timelønnen til Ina er 50 kroner høyere på lørdager enn på de andre dagene. Lørdag forrige uke jobbet hun 5 timer.

Fasit

a) \(\underline{\underline{2200 \, \mathrm{kr}}}\)
b) \(\underline{\underline{13 \text{ timer}}}\)

Løsningsforslag

a

Ina tjente 2200 kroner forrige uke.

b

Lørdag jobbet Ina 5 timer og tjente 1000 kr:

Timelønnen på hverdager er 50 kr lavere:

Antall timer mandag:

Antall timer onsdag:

Totalt antall timer:

Ina jobbet 13 timer til sammen forrige uke.

Lineær nedbetalingsformel for billån

Elvira kjøper en ny bil. Hun tar opp et lån på \(450\;000\) kroner.

Etter \(t\) år er lånet redusert til \(L\) kroner, der

Fasit

a) \(\underline{\underline{250\,000 \, \mathrm{kr}}}\)
b) \(\underline{\underline{9 \text{ år}}}\)

Løsningsforslag

a

Vi setter \(t = 4\) inn i formelen:

Lånet er 250 000 kroner etter 4 år.

b

Når Elvira har betalt tilbake hele lånet, er \(L = 0\). Vi setter opp og løser en likning:

Det tar 9 år før Elvira har betalt tilbake hele lånet.

Kasper og Viktor om merverdiavgift

Kasper og Viktor er lærlinger i en klesbutikk. En dag snakker de om merverdiavgift.

Fasit

Kasper har rett. Mva. er 25 % av prisen uten mva., ikke av totalbeløpet. Når vi deler totalbeløpet på 5, får vi riktig mva.-beløp.

Løsningsforslag

Kasper har rett.

Vi bruker et eksempel: En kunde betaler \(1000 \, \mathrm{kr}\) totalt for en vare (inkludert mva.).

Kaspers metode — del totalbeløpet på 5:

Prisen uten mva.:

Sjekk: \(25 \, \%\) av \(800 \, \mathrm{kr}\):

Kaspers metode stemmer. Mva. på \(200 \, \mathrm{kr}\) pluss pris uten mva. på \(800 \, \mathrm{kr}\) gir \(1000 \, \mathrm{kr}\) totalt.

Viktors metode — del totalbeløpet på 4:

Men da ville prisen uten mva. være \(1000 - 250 = 750 \, \mathrm{kr}\), og \(25 \, \%\) av \(750 \, \mathrm{kr}\) er \(187{,}50 \, \mathrm{kr}\) — ikke \(250 \, \mathrm{kr}\). Viktors metode gir feil svar.

Forklaring: Mva. er \(25 \, \%\) av prisen uten mva., ikke av totalbeløpet. Prisen uten mva. pluss \(25 \, \%\) mva. gir en vekstfaktor på \(1{,}25\), som tilsvarer å dele med \(\frac{5}{4}\) — eller å gange totalbeløpet med \(\frac{1}{5}\), altså dele på 5. Derfor er Kasper sin metode riktig.

Antibiotikadosering og oppløsning

En pasient trenger behandling med antibiotika.
På pakken med tabletter står det:

Én tablett inneholder \(250 \mathrm{~mg}\) antibiotika.

En annen pasient skal også behandles med antibiotika.
\(2 \mathrm{~g}\) antibiotika skal løses i \(100 \mathrm{~mL}\) sterilt vann.

Fasit

a) 28 tabletter
b) \(20 \, \mathrm{mg/mL}\)

Løsningsforslag

a

Pasienten tar \(500 \, \mathrm{mg}\) morgen og \(500 \, \mathrm{mg}\) kveld – det er \(1000 \, \mathrm{mg}\) per dag.

Én tablett inneholder \(250 \, \mathrm{mg}\), så vi finner antall tabletter per dag:

Behandlingen varer i 7 dager:

Pasienten trenger 28 tabletter totalt for hele behandlingen.

b

Vi regner om fra gram til milligram:

Styrken finner vi ved å dele mengden antibiotika på volumet:

Styrken på løsningen blir 20 mg/mL.

Matkast og prosent av matvarekjøp

Silje lurer på hvor mye mat hver person i Norge kjøper i gjennomsnitt hvert år.
Hun finner ut hvor mange kilogram (kg) nordmenn i gjennomsnitt kjøper av hver matvarekategori i løpet av et år, og lager diagrammet nedenfor.

Silje får vite at hver person i Norge i gjennomsnitt kaster \(35 \mathrm{~kg}\) mat i løpet av et år.

Hun ser på diagrammet, gjør beregninger og kommer med påstanden nedenfor:

Fasit

Totalt matvarekjøp er omtrent \(350 \, \mathrm{kg}\). \(10 \, \%\) av \(350 \, \mathrm{kg}\) er \(35 \, \mathrm{kg}\). Påstanden til Silje stemmer.

Løsningsforslag

Vi leser av diagrammet og summerer alle kategoriene:

Så regner vi ut hva \(10 \, \%\) av \(350 \, \mathrm{kg}\) er:

\(10 \, \%\) av maten vi kjøper tilsvarer akkurat \(35 \, \mathrm{kg}\), som er det samme som gjennomsnittlig matkast per person.

Påstanden til Silje stemmer.

Næringsinnhold middag og makspuls

Tabellen viser næringsinnholdet i en middag som blir servert til en eldre person.

Formelen for å regne ut energiinnholdet i en matvare er

• \(E\) er energiinnholdet målt i kilokalorier (kcal).
• \(P\) er mengden proteiner målt i gram.
• \(K\) er mengden karbohydrater målt i gram.
• \(F\) er mengden fett målt i gram.

Rune jobber som aktivitetsleder på et bo- og servicesenter. Han skal hjelpe beboerne Marit og Paul med å finne riktig treningspuls. Begge ønsker å trene med \(60 \;\%\) av makspuls.

En formel for å regne ut makspuls er

Rune har brukt formelen for makspuls til å lage tabellen nedenfor.
Etterpå har han sølt kaffe slik at tre av tallene ikke kan leses.

Fasit

a) Proteiner: \(39 \, \mathrm{g}\), karbohydrater: \(46 \, \mathrm{g}\), fett: \(18 \, \mathrm{g}\) — vist i søylediagram
b) \(189 \, \mathrm{kcal}\)
c) Makspuls Marit: \(168\), alder Paul: \(75 \text{ år}\), \(60 \, \%\) av makspuls Paul: \(98\)

Løsningsforslag

a

Vi summerer næringsstoffene fra tabellen:

Regnearket med formler:

Vi lager et søylediagram med tittel «Total antall gram av proteiner, karbohydrater og fett» der hver søyle viser én næringsstoffkategori.

Middagen inneholder totalt 39 g proteiner, 46 g karbohydrater og 18 g fett.

b

Vi setter tallene for potetmosen inn i formelen \(E = 4 \cdot P + 4 \cdot K + 9 \cdot F\):

Energiinnholdet i potetmosen er 189 kcal.

c

Tabellen har tre kaffeflekker. Vi finner hvert tall for seg.

Makspulsen til Marit (alder er 67, makspuls mangler):

Makspulsen til Marit er 168.

Alderen til Paul (makspuls er 163, alder mangler):

Setter opp likning og løser:

Paul er 75 år gammel.

60 % av makspulsen til Paul (makspuls er 163, prosenten mangler):

60 % av makspulsen til Paul er 98.

Velferdsteknologi i kommune

En kommune vurderer å investere i tre typer velferdsteknologi.

Tabellen nedenfor viser antall enheter kommunen ønsker å kjøpe, og pris per stykk.

Kommunen løser i dag arbeidsoppgavene uten velferdsteknologi. Tabellen nedenfor viser de årlige kostnadene med dagens løsning.

Den årlige kostnaden for hver av arbeidsoppgavene blir redusert med \(45 \;\%\) når kommunen tar velferdsteknologien i bruk, men kommunen må betale \(60\;000\) kroner per år i lisens- og servicekostnader.

Kommunen finner ut at de bare har \(310\;000\) kroner til å investere i ny velferdsteknologi. De er nødt til å kjøpe \(37\) elektroniske dørlåser og \(12\) GPS-løsninger.

Fasit

a) Total investeringskostnad: \(424\;650 \, \mathrm{kr}\)
b) Nye årlige kostnader: \(420\;250 \, \mathrm{kr}\), årlig besparelse: \(234\;750 \, \mathrm{kr}\), samlet besparelse over 3 år: \(279\;600 \, \mathrm{kr}\)
c) Kommunen har råd til å bestille 20 medisindispensere.

Løsningsforslag

a

Vi lager et regneark som viser investeringskostnad per type og totalen:

Verdier:

Formler:

Den totale investeringskostnaden er \(\mathbf{\underline{\underline{424\;650 \, \mathrm{kr}}}}\).

b

Reduksjonen er \(45 \, \%\), altså betaler kommunen \(55 \, \%\) av den gamle kostnaden for hver arbeidsoppgave. I tillegg kommer \(60\;000 \, \mathrm{kr}\) i lisens- og servicekostnader.

Verdier:

Formler:

Kommunen sparer \(234\;750 \, \mathrm{kr}\) per år. Men det første året må de også dekke investeringskostnaden på \(424\;650 \, \mathrm{kr}\):

De nye årlige kostnadene er 420 250 kr. Kommunen sparer 234 750 kr per år. Til sammen i løpet av de tre første årene sparer kommunen 279 600 kr.

c

Kommunen har \(310\;000 \, \mathrm{kr}\) til disposisjon. Først finner vi hva 37 dørlåser og 12 GPS-løsninger koster:

Siden vi ikke kan bestille 0,9 dispenser, avrundes det ned til 20.

Kommunen har råd til å bestille \(\mathbf{\underline{\underline{20 \text{ medisindispensere}}}}\).

Håndtrykksformelen for n personer

Når \(n\) personer møtes og alle håndhilser på hverandre, er antall håndtrykk \(H\) gitt ved formelen

\(20\) personer møtes. Alle håndhilser på hverandre.

Alle deltakerne på en fest håndhilser på hverandre. Det blir til sammen \(300\) håndtrykk.

Fasit

a) \(H = \underline{\underline{190}}\)
b) \(\underline{\underline{25 \text{ deltakere}}}\)

Løsningsforslag

a

Vi setter \(n = 20\) inn i formelen:

Det blir 190 håndtrykk når 20 personer møtes.

b

Vi vet at \(H = 300\) og skal finne \(n\). Vi prøver oss frem med ulike verdier for \(n\).

Fra a) vet vi at \(n = 20\) gir \(H = 190\) håndtrykk — for få. Prøver med \(n = 30\):

Prøver med \(n = 25\):

\(n = 25\) gir nøyaktig 300 håndtrykk.

Det er 25 deltakere på festen.

Elbil Trondheim-Bodø lading og fart

Øzlem skal kjøre elbil fra Trondheim til Bodø.

• Strekningen fra Trondheim til Bodø er \(700 \mathrm{~km}\).
• Bilen bruker omtrent \(20 \mathrm{~kWh}\) per \(100 \mathrm{~km}\).
• Lading koster \(5{,}50\) kroner per \(\mathrm{kWh}\).

Ifølge Google Maps er strekningen fra Trondheim til Bodø \(700 \mathrm{~km}\). Kjøretiden er \(10\) timer og \(16\) minutter.

Fasit

a) \(\underline{\underline{770 \, \mathrm{kr}}}\)
b) \(\underline{\underline{\approx 68 \, \mathrm{km/h}}}\)

Løsningsforslag

a

Bilen bruker \(20 \, \mathrm{kWh}\) per \(100 \, \mathrm{km}\). Vi finner energiforbruk per km:

Totalt energiforbruk for hele strekningen:

Ladekostnaden:

Øzlem må regne med å bruke 770 kroner på å lade bilen.

b

Vi gjør om kjøretiden til desimaltimer. 16 minutter er:

Total kjøretid:

Gjennomsnittsfart:

Gjennomsnittsfarten er omtrent 68 km/h.

Forbrukslån for Sigurd kontra kredittkort

Sigurd tar opp et forbrukslån på \(150\,000\) kroner.

• Type lån: annuitetslån
• Nominell rente: \(13\;\%\) per år
• Nedbetalingstid: \(2\) år, med \(12\) terminer per år
• Termingebyr: \(50\) kroner
• Terminbeløp: \(7181\) kroner

Banken lager en betalingsplan for lånet. Tabellen nedenfor viser planen for de tre første terminene, men avdrag og restlån for termin \(3\) mangler.

Sigurd ser på planen og stiller noen spørsmål.

Fasit

Grønn boks: Totalt \(\underline{\underline{172\,344 \, \mathrm{kr}}}\)
Gul boks: Avdrag \(\underline{\underline{5\,625{,}94 \, \mathrm{kr}}}\), restlån \(\underline{\underline{133\,302{,}41 \, \mathrm{kr}}}\)
Blå boks: Nei, kredittkortet hadde blitt dyrere (effektiv årsrente ca. 22,4 %)

Løsningsforslag

Grønn boks — totalt betalt til banken

Sigurd betaler i \(2 \text{ år} \cdot 12 \text{ terminer} = 24\) terminer. Hvert terminbeløp er \(7\,181 \, \mathrm{kr}\):

Sigurd betaler totalt 172 344 kroner til banken.

Gul boks — avdrag og restlån for termin 3

Avdraget er terminbeløpet minus renter og termingebyr:

Restlånet er restlånet etter termin 2 minus avdraget i termin 3:

Avdraget i termin 3 er 5 625,94 kr, og restlånet etter termin 3 er 133 302,41 kr.

Blå boks — er kredittkortet billigere?

Vi sammenligner månedlig rente på kredittkortet med forbrukslånet.

Kredittkortet har \(1{,}7 \, \%\) månedlig rente. Vi finner effektiv årsrente:

Forbrukslånet har \(13 \, \%\) nominell årsrente — langt lavere enn \(22{,}4 \, \%\).

Vi kan også sammenligne direkte for termin 1:

• Renter med kredittkort: \(150\,000 \, \mathrm{kr} \cdot 0{,}017 = 2\,550 \, \mathrm{kr}\)
• Renter med forbrukslån: \(1\,625 \, \mathrm{kr}\) (pluss \(50 \, \mathrm{kr}\) termingebyr = \(1\,675 \, \mathrm{kr}\))

Kredittkortet gir \(2\,550 \, \mathrm{kr}\) i renter første termin, mot \(1\,675 \, \mathrm{kr}\) for forbrukslånet.

Det ville ikke blitt billigere å låne pengene med kredittkort. Forbrukslånet er billigere.