1P-Y NA eksamen V2024

Oversikt over eksamensoppgavene

Del 1 — 1 time — uten hjelpemidler

№	Navn	Temaer	LF
1-1	Rekestørrelser og pris per kg	prosentregning	✔︎
1-2	Oda sitt budsjett og sparing	økonomi, sparing	✔︎
1-3	Bremselengde med formel	formler, modellering	✔︎
1-4	Hveteåker og spireprosent	formler, areal	×
1-5	Nils selger torsk på fiskemarked	måleenheter, økonomi	×

Del 2 — 3 timer — med hjelpemidler

№	Navn	Temaer	LF
2-1	Laksefiske og smoltvekst	prosentregning, eksponentiell vekst, regneark	×
2-2	Blomsterkrukker og sylindervolum Sander	volum, geometri, økonomi	×
2-3	Chris lån og sparing for å ta førerkort	excel, lån, sparing, kredittkort	✔︎
2-4	Isak reiser Oslo til Stockholm	økonomi, prosentregning, modellering, systematisering, sammensatte måleenheter	✔︎

Del 1

Oppgave 1-1

Rekestørrelser og pris per kg

En butikk selger poser med 5 kilogram reker for 400 kroner per pose.

Oppgave

Hva er prisen per kilogram for rekene?

Poser med reker merkes ut fra hvor store rekene er.

Størrelse 50/70	Størrelse 70/90	Størrelse 90/120
Du får mellom 50 og 70 reker per kilogram.	Du får mellom 70 og 90 reker per kilogram.	Du får mellom 90 og 120 reker per kilogram.

Oppgave

I hvilken pose bør en reke som veier 20 gram, være? Husk å begrunne svaret ditt.
1. størrelse 50/70
2. størrelse 70/90
3. størrelse 90/120

Fasit

a) \(80 \, \mathrm{kr/kg}\)
b) A – størrelse 50/70 (1000 g / 20 g = 50 reker per kg)

Løsningsforslag

a

Vi deler prisen på antall kilogram:

\[\frac{400 \, \mathrm{kr}}{5 \, \mathrm{kg}} = 80 \, \mathrm{kr/kg} \]

Prisen per kilogram er \(\underline{\underline{80 \, \mathrm{kr/kg}}}\).

b

Vi finner hvor mange reker det er per kilogram når én reke veier 20 gram:

\[\frac{1000 \, \mathrm{g}}{20 \, \mathrm{g}} = 50 \text{ reker per kilogram} \]

Størrelse 50/70 betyr at det er mellom 50 og 70 reker per kilogram. En reke på 20 gram gir nøyaktig 50 reker per kilo, som er i nedre grense for denne størrelseskategorien.

Reken bør være i pose A – størrelse 50/70.

Oppgave 1-2

Oda sitt budsjett og sparing

Oda er elev i videregående skole. Hun ønsker seg bedre kontroll over egen økonomi og har laget et månedlig budsjett.

Inntekter:

Post	Beløp
Butikkjobb	4 500 kr
Lommepenger	600 kr

Utgifter:

Post	Beløp
Bensin til moped	500 kr
Kjøp av klær	1 200 kr
Kjøp av skolemat og drikke	1 550 kr
Bruk av mobiltelefon	350 kr
Diverse	500 kr

Oda vil spare 10 500 kroner i løpet av 11 måneder.

Oppgave

Gjør beregninger og vurder om Oda klarer dette hvis hun følger budsjettet.

Fasit

Månedlig overskudd er \(1000 \, \mathrm{kr}\). Over 11 måneder sparer Oda \(11\,000 \, \mathrm{kr}\), som er mer enn \(10\,500 \, \mathrm{kr}\). Oda klarer sparemålet.

Løsningsforslag

Vi beregner månedlig overskudd:

	Beløp
Inntekter	\(4500 + 600 = 5100 \, \mathrm{kr}\)
Utgifter	\(500 + 1200 + 1550 + 350 + 500 = 4100 \, \mathrm{kr}\)
Overskudd per måned	\(5100 - 4100 = 1000 \, \mathrm{kr}\)

Sparing over 11 måneder:

\[11 \cdot 1000 = 11\,000 \, \mathrm{kr} \]

Oda klarer sparemålet sitt hvis hun følger budsjettet. Hun vil ha \(\underline{\underline{500 \, \mathrm{kr}}}\) til overs.

Oppgave 1-3

Bremselengde med formel

For å regne ut bremselengder på sommerføre kan vi bruke formelen

\[B = \frac{x^2}{2} \]

\(B\) er bremselengde (meter)
\(x\) er fart (km/h) delt på 10

På nettsidene til Viking Redningstjeneste står det at en bil som kjører i \(70 \mathrm{~km/h}\), har en bremselengde på \(24{,}5 \mathrm{~m}\).

Oppgave

Vis hvordan Viking Redningstjeneste kan ha regnet ut denne bremselengden.

Fasit

\(x = 70/10 = 7\), \(B = 7^2/2 = 24{,}5 \, \mathrm{m}\)

Løsningsforslag

Formelen er \(B = \dfrac{x^2}{2}\), der \(x\) er fart i km/h delt på 10.

Vi setter inn \(x = \dfrac{70}{10} = 7\):

\[B = \frac{7^2}{2} = \frac{49}{2} = 24{,}5 \]

Bremselengden ved \(70 \, \mathrm{km/h}\) er \(\underline{\underline{24{,}5 \, \mathrm{m}}}\), og det stemmer med verdien Viking Redningstjeneste oppgir.

Oppgave 1-4

Hveteåker og spireprosent

En bonde har plantet hvete på en åker med lengde \(150 \mathrm{~m}\) og bredde \(100 \mathrm{~m}\).

Oppgave

Regn ut arealet av åkeren.

For å få en god avling trenger man frø med høy spireprosent.

I denne oppgaven kan du få bruk for denne formelen:

\[S = \frac{n \cdot x}{100} \]

\(S\) er antall frø som spirer
\(n\) er antall sådde frø
\(x\) er spireprosenten til frøene

Bonden har gjort et forsøk. Han har sådd 50 frø, og 40 av dem spirer.

Oppgave

Hjelp bonden å finne spireprosenten \(x\).

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-5

Nils selger torsk på fiskemarked

Nils har fisket torsk, og totalvekten på fangsten er \(100 \mathrm{~kg}\). Han skal selge torsken han har fisket denne dagen.

På fiskemarkedet er det tre ulike boder som vil kjøpe fisken:

Bod	Innkjøpspris
Bod 1	98 kr/kg
Bod 2	0,12 kr/g
Bod 3	9,90 kr/hg

Oppgave

Gjør beregninger, og vurder hvilken bod han bør selge fisken i. Hvor mye får han betalt for hele fangsten i denne boden?

Fasit

Løsningsforslag

Del 2

Oppgave 2-1

Laksefiske og smoltvekst

Tabellen gir en oversikt over laksefisket i fire elver i Norge i 2023.

	Laks fanget	Laks avlivet
Lakselva i Porsanger	852	328
Otra	1 165	1 130
Namsenvassdraget	3 169	2 602
Gaulavassdraget	3 829	1 497

Oppgave

Bruk tabellen og regn ut hvor mange laks som ble sluppet ut igjen. Lag en grafisk framstilling som viser hvor mange laks som ble sluppet ut igjen i de ulike elvene.

Du jobber en dag på et fiskeoppdrett.

juli får du være med og veie og måle en smolt (ungfisk/lakseunge).

Du veier en smolt, og den veier \(101{,}3 \mathrm{~g}\).

Du får vite at den daglige vektendringen i prosent \(p\) er \(1{,}30\) i hele juli måned (31 dager).

Formelen for vekstraten for smolt er

\[V_1 = V_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n \]

\(V_1\) er sluttvekten
\(V_0\) er startvekten
\(p\) er daglig vektendring i prosent
\(n\) er antall dager

Oppgave

Hvor mye vil smolten veie 1. august?

Du har fått tilbud om å jobbe 40 hverdager og tre helger (lørdag og søndag) i løpet av sommeren. Hver av dagene skal du jobbe \(7{,}5\) timer.

Timelønn hverdag	185 kroner
Timelønn helg	30 % mer enn timelønn hverdag
Skatt	12 %

Oppgave

Bruk regneark og lag en oversikt over hvor mye du vil få i nettolønn om du takker ja til jobbtilbudet. Husk å vise hvilke formler du bruker i regnearket.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-2

Blomsterkrukker og sylindervolum Sander

Sander vil kjøpe tre like store blomsterkrukker. En blomsterkrukke koster 198 kr. Blomsterkrukkene er formet som en sylinder.

Formelen for volumet av en sylinder er

\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h \]

Innvendige mål
Diameter	24 cm
Høyde	45 cm

Sander stiller seg selv noen spørsmål:

Tilbud 1: 35 % rabatt på hele kjøpet.

Tilbud 2: Kjøp tre blomsterkrukker, betal for to.

Sander

Hvilket tilbud bør jeg velge når jeg skal kjøpe de tre blomsterkrukkene?

Hvor mange liter blomsterjord er det plass til i hver blomsterkrukke?

Hvor høyt opp i blomsterkrukken kommer blomsterjorden om jeg fyller den med 15 liter blomsterjord?

Oppgave

Gjør beregninger og vurderinger som gir mest mulig informasjon om det Sander lurer på.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-3

Chris lån og sparing for å ta førerkort

Chris ønsker å ta førerkort for bil. Han finner to alternativer.

Alternativ 1

Trafikalt grunnkurs: 3300 kr
To trinnvurderinger: 1580 kr
Sikkerhetskurs på bane: 5950 kr
Sikkerhetskurs på vei: 8500 kr
Kjøretime: 850 kr per time

Alternativ 2

Pakketilbud: 25 000 kr. Pakken inkluderer

Trafikalt grunnkurs
To trinnvurderinger
Sikkerhetskurs på bane
Sikkerhetskurs på vei
8 kjøretimer

Chris tror han vil trenge 8 kjøretimer i tillegg til resten av opplæringen.

Oppgave

Hvilket alternativ bør Chris velge? Husk å begrunne svaret ditt.

Chris har ikke penger. Han vurderer å bruke kredittkort til å ta opp et lån på 25 000 kroner som han skal betale tilbake med ett terminbeløp hver måned i ett år, slik betalingsplanen nedenfor viser.

Termin	Terminbeløp	Renter	Avdrag	Restgjeld
1	2321	425	1896	23 104
2	2321	393	1928	21 176
3	2321	360	1961	19 215
4	2321	327	1994	17 221
5	2321	293	2028	15 193
6	2321	258	2062	13 131
7	2321	223	2097	11 034
8	2321	188	2133	8901
9	2321	151	2169	6732
10	2321	114	2206	4526
11	2321	77	2244	2282
12	2321	39	2282	0

Oppgave

Hva blir den totale kostnaden for lånet?

Chris finner ut at han heller vil spare 2300 kroner hver måned. Han har en sparekonto med 0,35 prosent rente per måned.

Oppgave

Lag et regneark som vist nedenfor. Lag formler i de grønne cellene slik at utregningene blir riktige.
Lag flere rader, slik at du finner ut hvor mange måneder det tar før Chris har 25 000 kroner på kontoen.
Husk å vise hvilke formler du bruker i regnearket.

Figur 1: Regneark som viser Chris' sparing

Fasit

a) Vi sjekker prisen for alternativ 1 med 8 kjøretimer.

\[3300+1580+5950+8500+8 \cdot 850=26\,130 \mathrm{~kr} \]

Pakkeløsningen i alternativ 2 er rimeligere.
b) Chris har lånt 25 000 kr og han betaler tilbake \(12 \cdot 2321=27\,852 \mathrm{~kr}\). Differansen er \(27\,852-25000=2852 \mathrm{~kr}\).
Lånet koster 2852 kr.
c)
Chris har 25 000 kr på kontoen etter han har satt inn sparebeløpet i måned 11.

Løsningsforslag

a

Vi beregner prisen for alternativ 1 med 8 kjøretimer:

\[\begin{aligned} &3300 + 1580 + 5950 + 8500 + 8 \cdot 850 \\ = \, &3300 + 1580 + 5950 + 8500 + 6800 \\ = \, &26\,130 \, \mathrm{kr} \end{aligned} \]

Alternativ 2 koster \(25\,000 \, \mathrm{kr}\) og inkluderer de samme kursene med 8 kjøretimer.

Chris bør velge alternativ 2 (pakketilbudet). Det er \(\underline{\underline{1\,130 \, \mathrm{kr}}}\) billigere enn alternativ 1.

b

Total innbetalt med lånet:

\[12 \cdot 2321 = 27\,852 \, \mathrm{kr} \]

Lånekostnad (det ekstra han betaler):

\[27\,852 - 25\,000 = 2\,852 \, \mathrm{kr} \]

Den totale kostnaden for lånet er \(\underline{\underline{2\,852 \, \mathrm{kr}}}\).

c

Excel-oppgave

Denne oppgaven løses i Excel. Under er et eksempel på hvordan regnearket kan se ut.

Regneark for Chris' sparing

Formlene i de grønne cellene er:

Renter: = forrige saldo × 0,0035
Ny saldo: = forrige saldo + renter + innskudd

Chris har 25 000 kroner på kontoen etter at han har satt inn sparebeløpet i måned 11 (saldo ≈ 25 747 kr).

Oppgave 2-4

Isak reiser Oslo til Stockholm

Isak skal reise fra Oslo til Stockholm. Han finner to alternative måter:

Alternativ 1	Pris	Avgang	Ankomst	Distanse
Tog fra Oslo sentrum til Stockholm sentrum	551 kr	07:32	14:19	416 km

Alternativ 2	Pris	Avgang	Ankomst	Distanse
Tog fra Oslo sentrum til Oslo lufthavn	118 kr	07:54	08:17	48 km
Fly fra Oslo lufthavn til Stockholm lufthavn	799 kr	09:20	10:20	385 km
Tog fra Stockholm lufthavn til Stockholm sentrum	178 kr	11:13	11:52	38 km

Oppgave

Ta utgangspunkt i spørsmålene til Isak. Gjør beregninger og vurderinger som gir mest mulig informasjon om det han lurer på:

Hvor mange kroner sparer jeg ved å velge alternativ 1?
Hvor mye tid sparer jeg ved å velge alternativ 2?
Jeg lurer på hvor fort toget i alternativ 1 kjører. Kan jeg regne ut gjennomsnittsfarten med formelen \(s = vt\)?
Utslippet av CO₂ er 133 gram per kilometer jeg reiser med fly, og 10 gram per kilometer jeg reiser med tog. Hvor mange kilogram utslipp blir det for hvert av alternativene?
Hvor mange prosent lavere utslipp blir det med alternativ 1, sammenlignet med alternativ 2?

Vurder i tillegg hvilket reisealternativ du mener Isak bør velge.

Fasit

Alt 1 er 544 kr billigere. Alt 2 er 2 t 49 min raskere. Gjennomsnittsfart tog ≈ 61,4 km/h. CO₂: alt 1 = 4,16 kg, alt 2 = 52,1 kg. Alt 1 har 92 % lavere utslipp.

Løsningsforslag

Vi beregner og svarer på hvert av Isaks spørsmål.

Pris:

\[\text{Alt 2:} \quad 118 + 799 + 178 = 1095 \, \mathrm{kr} \]

\[1095 - 551 = 544 \, \mathrm{kr} \]

Isak sparer \(\underline{\underline{544 \, \mathrm{kr}}}\) ved å velge alternativ 1.

Tid:

\[\text{Alt 1:} \quad 14{:}19 - 07{:}32 = 6 \text{ t } 47 \text{ min} = 407 \text{ min} \]

\[\text{Alt 2:} \quad 11{:}52 - 07{:}54 = 3 \text{ t } 58 \text{ min} = 238 \text{ min} \]

\[407 - 238 = 169 \text{ min} = 2 \text{ t } 49 \text{ min} \]

Isak sparer \(\underline{\underline{2 \, \mathrm{timer} \, 49 \, \mathrm{minutter}}}\) ved å velge alternativ 2.

Gjennomsnittsfart, alternativ 1:

Vi bruker \(v = \dfrac{s}{t}\) med \(s = 416 \, \mathrm{km}\) og \(t = \dfrac{407}{60} \, \mathrm{h}\):

\[v = \frac{416}{\frac{407}{60}} = \frac{416 \cdot 60}{407} \approx 61{,}4 \, \mathrm{km/h} \]

Gjennomsnittsfarten til toget er \(\underline{\underline{61{,}4 \, \mathrm{km/h}}}\).

CO₂-utslipp:

Alternativ 1 (kun tog, 416 km):

\[416 \cdot 10 = 4\,160 \, \mathrm{g} = 4{,}16 \, \mathrm{kg} \]

Alternativ 2 (tog + fly + tog):

\[\underbrace{48 \cdot 10}_{480} + \underbrace{385 \cdot 133}_{51\,205} + \underbrace{38 \cdot 10}_{380} = 52\,065 \, \mathrm{g} \approx 52{,}1 \, \mathrm{kg} \]

CO₂-utslipp: alternativ 1 gir \(\underline{\underline{4{,}16 \, \mathrm{kg}}}\), alternativ 2 gir \(\underline{\underline{52{,}1 \, \mathrm{kg}}}\).

Prosentvis lavere utslipp, alternativ 1:

\[\frac{52{,}065 - 4{,}160}{52{,}065} \cdot 100 \approx 92{,}0 \, \% \]

Alternativ 1 har \(\underline{\underline{92 \, \%}}\) lavere CO₂-utslipp enn alternativ 2.

Vurdering:

Alternativ 1 er klart å foretrekke ut fra pris og miljø – det er 544 kr billigere og slipper ut 92 % mindre CO₂. Alternativ 2 er 2 timer og 49 minutter raskere, men den store miljøforskjellen gjør at jeg anbefaler Isak å velge alternativ 1 (direktetoget).