1P-Y RM eksamen V2025

Oversikt over eksamensoppgavene

Del 1 — 1 time — uten hjelpemidler

№	Navn	Temaer	LF
1-1	Enhetspris og sparing på ris	enhetskostnad, prosentregning, økonomi	✔︎
1-2	Kvadratrotformel og mobilading	røtter, formler, algebra	✔︎
1-3	Kennys lån	lån	✔︎
1-4	Energi i måltid med kcal-formel	formler, prosentregning, diagram	×
1-5	Kokkene Jonas og Ina og kyllingtilbud	prosentregning, økonomi, enhetskostnad	×

Del 2 — 3 timer — med hjelpemidler

№	Navn	Temaer	LF
2-1	Godt Stekt restaurant og pizzasalg	diagram, mva, regneark, økonomi	×
2-2	Elevbedrift lager lasagne til skoleavslutning	volum, økonomi, formler	×
2-3	Alis lån til bedriften	lån, excel	✔︎
2-4	Energisammenlikning ved og strøm	enhetskostnad, økonomi, formler	✔︎
2-5	Lønnsalternativer ved avissalg	lineær vekst, funksjoner, økonomi, likningssystem	✔︎

Del 1

Oppgave 1-1

Enhetspris og sparing på ris

Sara skal handle ris i butikken. Hun kan velge mellom to ulike typer.

	Kartong med boil-in-bag-ris	Sekk med ris
Vekt	1 kg	4 kg
Pris	32 kroner	80 kroner

I en kartong med boil-in-bag-ris er 1 kg ris fordelt på 8 poser.

Oppgave

Hvor mange gram ris er det i hver pose?

I familien til Sara er de to voksne og to barn. Hver person spiser 5 kg ris hvert år.

Oppgave

Hvor mange kroner sparer familien i løpet av ett år dersom de kjøper sekker med ris i stedet for kartonger med boil-in-bag-ris?

Fasit

a) 125 g
b) 240 kr

Løsningsforslag

a

1 kg = 1000 g. Det er 8 poser i en kartong, så hver pose inneholder

\[\frac{1000 \, \mathrm{g}}{8} = \underline{\underline{125 \, \mathrm{g}}} \]

b

Familien spiser til sammen $4 \cdot 5 = 20 \, \mathrm{kg}$ ris per år.

Kartong med boil-in-bag-ris: $32 \, \mathrm{kr/kg}$

\[20 \cdot 32 = 640 \, \mathrm{kr} \]

Sekk med ris: $80 \, \mathrm{kr}$ for $4 \, \mathrm{kg}$, altså $20 \, \mathrm{kr/kg}$

\[20 \cdot 20 = 400 \, \mathrm{kr} \]

Familien sparer $\underline{\underline{640 - 400 = 240 \, \mathrm{kr}}}$ i løpet av ett år ved å kjøpe sekker med ris.

Oppgave 1-2

Kvadratrotformel og mobilading

Mina har undersøkt hvor lang tid det tar å lade mobiltelefonen.

Hun har funnet ut at når telefonen er helt utladet, kan hun bruke formelen nedenfor til å regne ut omtrent hvor mange prosent $P$ den lades i løpet av $m$ minutter.

\[P = 10 \cdot \sqrt{m} \]

$P$ er hvor mange prosent mobilen lades opp
$m$ er antall minutter med lading

Mina har gjort noen beregninger og satt opp to påstander.

Påstand 1

Ifølge formelen vil det ta 25 minutter å lade mobiltelefonen fra 0 % til 50 %.

Påstand 2

Ifølge formelen vil det ta tre ganger så lang tid å lade mobiltelefonen fra 0 % til 100 % som fra 0 % til 50 %.

Oppgave

Gjør beregninger, og vurder om påstandene til Mina kan være riktige.

Eksempler på regning med kvadratrøtter

$\sqrt{ 9 }= 3$ siden $3 \cdot 3 = 9$
$\sqrt{ 49 }= 7$ siden $7 \cdot 7 = 49$

Fasit

Påstand 1 stemmer. Påstand 2 stemmer ikke.

Løsningsforslag

Påstand 1
Hvis påstand 1 stemmer så må $10 \cdot \sqrt{ 25 }$ bli lik $50$. Vi sjekker.

\[10 \cdot \sqrt{ 25 }=10 \cdot 5 = 50 \]

Påstand 1 stemmer, det tar 25 minutter å lade fra 0 % til 50 %.

Påstand 2
Vi vet at det tar 25 minutter å lade til 50 %. La oss tredoble tiden til 75 minutter og sjekke om dette gir oss 100 % lading.

$10\cdot \sqrt{ 75 }$ er vanskelig å regne ut, men jeg vet at svaret må være mellom $8$ og $9$ siden $8^{2}=64$ og $9^{2}=81$.

\[10 \cdot \sqrt{ 75 } \approx 10 \cdot 8{,}7 =87 \]

Påstand 2 stemmer ikke. Vi får ikke ladet mer enn omtrent 87 % på tre ganger så lang tid som fra 0 til 50 %.

Oppgave 1-3

Kennys lån

Kenny har et kredittlån på 400 000 kroner.

Han må betale renter og termingebyr hver måned. Han betaler ikke avdrag på lånet.
I rammen nedenfor ser du vilkårene for lånet til Kenny.

Kredittlån

Lånebeløp: 400 000 kroner
Rente: 1,5 % per måned
Terminer per år: 12
Termingebyr: 50 kroner
Avdrag: 0 kroner

Oppgave

Hvor mange kroner må jeg betale i renter per måned?
Hva blir kostnaden for lånet per år?

Fasit

a) 6000 kr
b) 72 600 kr

Løsningsforslag

a

Siden vi ikke betaler noe avdrag så blir rentene de samme hver måned.

\[400\,000 \cdot 0{,}015 = \underline{\underline{ 6\,000 \mathrm{~kr} }} \]

b

Det er 12 måneder med 6 000 kr i hver måned. I tillegg betaler vi 50 kr per måned i gebyr.

\[12 \cdot 6\,000 + 12 \cdot 50 = 72\, 000 + 600 = \underline{\underline{ 72\,600 \mathrm{~kr} }} \]

Oppgave 1-4

Energi i måltid med kcal-formel

Vi kan regne ut energien i et måltid med formelen

\[E = 4 \cdot P + 4 \cdot K + 9 \cdot F \]

$E$ er energien målt i kilokalorier (kcal)
$P$ er antall gram proteiner
$K$ er antall gram karbohydrater
$F$ er antall gram fett

En barnehage serverer en lunsj. Tabellen viser næringsinnholdet per porsjon.

Lunsj	Proteiner	Karbohydrater	Fett
Kyllingsalat med pasta	20 g	45 g	10 g

Oppgave

Bruk formelen og vis at energien i lunsjen er 350 kcal.

Barnehagelærer Bård spiser en frokost med energi 320 kcal. Diagrammet viser fordelingen av energi fra karbohydrater, proteiner og fett.

Energibalanse for frokosten til Bård

Oppgave

Hvor mange gram karbohydrater er det i frokosten?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-5

Kokkene Jonas og Ina og kyllingtilbud

Kokkene Jonas og Ina skal lage en hovedrett med kylling til 30 personer.

De finner to tilbud i butikken:

Pakketilbud

3 kg kyllingfilet koster 270 kroner.

Tilbud: 3 for 2

Kjøp 3 pakker, betal for 2.
1 pakke med 1 kg kyllingfilet koster 120 kroner.

Jonas vil kjøpe 6 kg kyllingfilet og sier:

Jonas

Å velge tilbudet med 3 for 2 er 60 kroner dyrere enn å velge pakketilbudet.

Ina vil også kjøpe 6 kg kyllingfilet og sier:

Ina

Pakketilbudet er 12,5 % dyrere enn tilbudet 3 for 2.

Oppgave

Gjør beregninger og vurder om påstandene til Jonas og Ina er riktige.

Fasit

Løsningsforslag

Del 2

Oppgave 2-1

Godt Stekt restaurant og pizzasalg

Tabellen viser antallet solgte pizzaer i april for restauranten Godt Stekt.

Pizza	Spise her	Ta med
Margherita	750	1072
Pepperoni	324	456
Vegetar	268	327

Oppgave

Lag en grafisk framstilling som viser totalt antall solgte av hver type pizza.

Satser for merverdiavgift (mva.) er

25 % for å spise i restauranten
15 % for å ta med maten

Tabellen nedenfor viser prisene for de tre typene pizza restauranten selger.

Pizza	Pris uten mva.	Pris med 25 % mva.	Pris med 15 % mva.
Margherita	180 kr		207 kr
Pepperoni	220 kr	275 kr	253 kr
Vegetar		250 kr	230 kr

Oppgave

Gjør beregninger og finn tallene som skal stå i de to tomme rutene i tabellen.

Merverdiavgift er en avgift som går til staten. Restauranten beholder resten av inntektene.

I april var de totale kostnadene til restauranten 556 704 kroner.

Oppgave

Lag et regneark for april som viser
- hvor mye restauranten tjente på pizzasalget uten mva.
- hvor mange prosent de totale kostnadene utgjør av denne inntekten
Husk å vise formlene du bruker i regnearket.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-2

Elevbedrift lager lasagne til skoleavslutning

En elevbedrift med fire elever har fått i oppdrag å lage lasagne til en skoleavslutning for 92 ansatte.

De fire elevene gjør noen undersøkelser og stiller seg noen spørsmål.

Vi bruker stekeformer med målene

lengde: 53 cm
bredde: 32,5 cm
høyde: 5 cm

Formelen for volumet av en stekeform er

\[\text{volum} = \text{lengde} \cdot \text{bredde} \cdot \text{høyde} \]

Hver porsjon lasagne har et volum på 360 cm³.

Vi trenger blant annet:

Ingrediens	Mengde per porsjon	Pris
Kjøttdeig	100 g	126 kr/kg
Ost	40 g	90 kr/kg
Pastaplater	75 g	85 kr/kg
Tomatsaus	200 g	36 kr/kg

Vi tror at de totale utgiftene våre blir omtrent 3200 kroner. Vi skal selge 92 porsjoner.

Oppgave

Gjør beregninger og vurderinger, og svar på spørsmålene de fire elevene stiller:

Hvor stort volum har en stekeform?
Hvor mange stekeformer trenger vi til 92 porsjoner lasagne?
Hvor mye trenger vi av hver ingrediens for å lage 92 porsjoner?
Hva blir den totale kostnaden for disse fire ingrediensene?
Hva må salgsprisen per porsjon være for at vi skal tjene 900 kroner hver etter at utgiftene er betalt?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-3

Alis lån til bedriften

Ali eier en bedrift. Han tar opp et serielån på 800 000 kroner i starten av et år.
Lånet skal betales ned i løpet av 5 år med én termin per år. Renten er 6,2 % per år.
Lånet er gebyrfritt.

Ali vil bruke et regneark til å lage en nedbetalingsplan. Nedenfor ser du hva han har laget så langt.

Oppgave

Lag et regneark som vist ovenfor. Lag formler i de grønne cellene slik at utregningene blir riktige. Husk å vise formlene du bruker i regnearket.

For å regne ut summen $S$ av renter du må betale for et serielån, kan du bruke formelen

\[S= \frac{L \cdot n + L}{2} \cdot \frac{r}{100} \]

$S$ er summen av renter
$L$ er lånebeløpet
$n$ er antall terminer
$r$ er renten i prosent (eksempel: Hvis renten er 4 %, blir $r=4$)

Oppgave

Bruk formelen til å finne summen av renter Ali må betale for serielånet sitt.

Fasit

a) –
b) 148 800 kr

Løsningsforslag

a

Et serielån har like store avdrag i hver termin. Avdraget er

\[\frac{800\,000}{5} = 160\,000 \, \mathrm{kr} \]

Rentene beregnes av restlånet ved starten av året. Regnearket under viser nedbetalingsplanen med verdier og formler.

Nedbetalingsplan for Alis serielån

Forklaring av formlene:

Renter = Lån starten av året $\cdot$ renten (f.eks. =B6*$B$2)
Avdrag = Lånebeløpet $\div$ antall terminer (f.eks. =$B$1/$B$3)
Terminbeløp = Renter + Avdrag (f.eks. =C6+D6)
Lån slutten av året = Lån starten av året $-$ Avdrag (f.eks. =B6-D6)
Lån starten av året (fra termin 2) = Lån slutten av forrige år (f.eks. =F6)

b

Vi vet at $L=800\,000$, $n=5$, $r=6{,}2$. Da kan vi regne ut $S$ med:

\[S=\frac{800000 \cdot 5 + 800000}{2} \cdot \frac{6{,}2}{100}=\frac{4\,800\,000}{2} \cdot 0{,}062 = 2\,400\,000 \cdot 0{,}062 = 148 \, 800 \]

Ali betaler 148 800 kr i renter.

Oppgave 2-4

Energisammenlikning ved og strøm

Lars vil kjøpe ved. Han finner tilbudet vist nedenfor.

Sekk med 40 liter ved

Pris	Vekt	Volum	Energi
79 kroner	15 kg	40 L	63 kWh

Oppgave

Hva blir volumet av 1 kg ved?

Lars ser på tilbudet og gjør denne utregningen:

\[\frac{79}{15} = 5{,}27 \]

Oppgave

Forklar hva tallet $5{,}27$ forteller om tilbudet.

Når Lars bruker strøm til elektrisk oppvarming av boligen, går 100 % av energien til oppvarming. Når Lars bruker ved til oppvarming av boligen, går 75 % av energien i veden til oppvarming.

En dag er prisen for elektrisk oppvarming $1{,}50 \mathrm{~kr/kWh}$. Lars lurer på hva slags type oppvarming som blir billigst.

Oppgave

Gjør beregninger, og gi Lars råd om hva han bør velge den dagen.

Fasit

a) 2,67 L
b) Prisen i kroner per kg med ved
c) Strøm er billigst

Løsningsforslag

a

Siden 40 L veier 15 kg så må 1 kg ved ha volumet

\[\frac{40 \mathrm{~L}}{15}=\underline{\underline{ 2{,}67 \mathrm{~L }}} \]

b

Lars har regnet ut

\[\frac{\text{Pris (kr)}}{\text{Vekt (kg)}} = \underline{\underline{ \text{Pris i kroner per kg ved} }} \]

c

Vi må sammenligne prisen per kWh for strøm og ved.

Strøm
Strømmen koster $1{,}50 \mathrm{~kr/kWh}$.

Ved
Vi beregner prisen for hver kWh. Siden det bare er 75 % som går til faktisk oppvarming så multipliserer vi energien i veden med 0,75.

\[\frac{79 \mathrm{~kr}}{63 \mathrm{~kWh} \cdot 0{,}75}=1{,}67 \mathrm{~kr/kWh} \]

Det er rimeligst å velge strøm for å varme opp boligen denne dagen. Det er 0,17 kr/kWh rimeligere enn å fyre med ved.

Oppgave 2-5

Lønnsalternativer ved avissalg

Elise skal gå fra dør til dør og selge aviser hver lørdag. En avis koster 49 kroner.

Firmaet hun skal arbeide for, beregner lønn på ulike måter. Elise kan velge mellom to tilbud.

Tilbud 1

Lønn: 35 % av beløpet hun selger aviser for

Tilbud 2

Fast lønn: 150 kroner per lørdag
Tillegg: 10 kroner per avis hun selger

Elise gjør seg noen tanker og stiller noen spørsmål.

Green-box

Hvor mye tjener jeg hvis jeg velger tilbud 1 og selger 15 aviser en lørdag?

Hvor mye tjener jeg hvis jeg velger tilbud 2 og selger 15 aviser en lørdag?

Blue-box

Jeg tror jeg kan selge flere enn 15 aviser hver lørdag.

Hvordan kan jeg lage en oversikt som viser hvilket tilbud som er best?

Oppgave

Svar på spørsmålene Elise stiller. Gjør beregninger og vurderinger, og gi Elise råd om hvilket tilbud hun bør velge.

Fasit

Tilbud 1 med 15 aviser: 257,25 kr. Tilbud 2 med 15 aviser: 300 kr. Tilbud 1 lønner seg fra og med 21 aviser.

Løsningsforslag

Tilbud 1 gir 35 % av salgsbeløpet. Hver avis koster 49 kr, så lønnen per avis er

\[0{,}35 \cdot 49 = 17{,}15 \, \mathrm{kr} \]

Vi setter opp et uttrykk for lønnen ved $x$ solgte aviser:

\[f(x) = 17{,}15 \cdot x \]

Tilbud 2 gir fast lønn pluss 10 kr per avis:

\[g(x) = 150 + 10 \cdot x \]

Hvor mye tjener Elise med 15 aviser?

Tilbud 1: $f(15) = 17{,}15 \cdot 15 = 257{,}25 \, \mathrm{kr}$
Tilbud 2: $g(15) = 150 + 10 \cdot 15 = 300 \, \mathrm{kr}$

Med 15 aviser er $\underline{\underline{\text{tilbud 2 best}}}$ med $300 \, \mathrm{kr}$ mot $257{,}25 \, \mathrm{kr}$.

Hvilken oversikt kan Elise lage?

Vi tegner begge grafene i GeoGebra og finner skjæringspunktet, se utklippet under.

Grafer for tilbud 1 (grønn) og tilbud 2 (rød)

Fra grafen ser vi at linjene krysser hverandre ved omtrent 21 aviser.

Vi kan også regne ut: $f(x) = g(x)$ når $17{,}15x = 150 + 10x$, altså $7{,}15x = 150$, som gir $x \approx 21$.

Antall aviser	10	15	20	21	25	30
Tilbud 1	171,50	257,25	343,00	360,15	428,75	514,50
Tilbud 2	250	300	350	360	400	450
Best	T2	T2	T2	≈ likt	T1	T1

Råd til Elise: Dersom hun tror hun kan selge 21 aviser eller flere per lørdag, bør hun velge tilbud 1. Selger hun færre enn 21, er tilbud 2 best.