1P-Y TP eksamen V2025

Oversikt over eksamensoppgavene

Del 1 — 1 time — uten hjelpemidler

№	Navn	Temaer	LF
1-1	Enhetspris og sparing på ris	enhetskostnad, prosentregning, økonomi	✔︎
1-2	Kvadratrotformel og mobilading	røtter, formler, algebra	✔︎
1-3	Kennys lån	lån	✔︎
1-4	Tannhjul og skyvelære	måleenheter, geometri	×
1-5	Konusformet aksling og konisitet	formler, målestokk, geometri	×

Del 2 — 3 timer — med hjelpemidler

№	Navn	Temaer	LF
2-1	Nomogram for omdreiningstall og boring	formler, geometri, volum	×
2-2	Ungdomsbedrift og motorsykler av stål	mva, økonomi, prosentregning, excel	×
2-3	Alis lån til bedriften	lån, excel	✔︎
2-4	Energisammenlikning ved og strøm	enhetskostnad, økonomi, formler	✔︎
2-5	Lønnsalternativer ved avissalg	lineær vekst, funksjoner, økonomi, likningssystem	✔︎

Del 1

Oppgave 1-1

Enhetspris og sparing på ris

Sara skal handle ris i butikken. Hun kan velge mellom to ulike typer.

	Kartong med boil-in-bag-ris	Sekk med ris
Vekt	1 kg	4 kg
Pris	32 kroner	80 kroner

I en kartong med boil-in-bag-ris er 1 kg ris fordelt på 8 poser.

Oppgave

Hvor mange gram ris er det i hver pose?

I familien til Sara er de to voksne og to barn. Hver person spiser 5 kg ris hvert år.

Oppgave

Hvor mange kroner sparer familien i løpet av ett år dersom de kjøper sekker med ris i stedet for kartonger med boil-in-bag-ris?

Fasit

a) 125 g
b) 240 kr

Løsningsforslag

a

1 kg = 1000 g. Det er 8 poser i en kartong, så hver pose inneholder

\[\frac{1000 \, \mathrm{g}}{8} = \underline{\underline{125 \, \mathrm{g}}} \]

b

Familien spiser til sammen $4 \cdot 5 = 20 \, \mathrm{kg}$ ris per år.

Kartong med boil-in-bag-ris: $32 \, \mathrm{kr/kg}$

\[20 \cdot 32 = 640 \, \mathrm{kr} \]

Sekk med ris: $80 \, \mathrm{kr}$ for $4 \, \mathrm{kg}$, altså $20 \, \mathrm{kr/kg}$

\[20 \cdot 20 = 400 \, \mathrm{kr} \]

Familien sparer $\underline{\underline{640 - 400 = 240 \, \mathrm{kr}}}$ i løpet av ett år ved å kjøpe sekker med ris.

Oppgave 1-2

Kvadratrotformel og mobilading

Mina har undersøkt hvor lang tid det tar å lade mobiltelefonen.

Hun har funnet ut at når telefonen er helt utladet, kan hun bruke formelen nedenfor til å regne ut omtrent hvor mange prosent $P$ den lades i løpet av $m$ minutter.

\[P = 10 \cdot \sqrt{m} \]

$P$ er hvor mange prosent mobilen lades opp
$m$ er antall minutter med lading

Mina har gjort noen beregninger og satt opp to påstander.

Påstand 1

Ifølge formelen vil det ta 25 minutter å lade mobiltelefonen fra 0 % til 50 %.

Påstand 2

Ifølge formelen vil det ta tre ganger så lang tid å lade mobiltelefonen fra 0 % til 100 % som fra 0 % til 50 %.

Oppgave

Gjør beregninger, og vurder om påstandene til Mina kan være riktige.

Eksempler på regning med kvadratrøtter

$\sqrt{ 9 }= 3$ siden $3 \cdot 3 = 9$
$\sqrt{ 49 }= 7$ siden $7 \cdot 7 = 49$

Fasit

Påstand 1 stemmer. Påstand 2 stemmer ikke.

Løsningsforslag

Påstand 1
Hvis påstand 1 stemmer så må $10 \cdot \sqrt{ 25 }$ bli lik $50$. Vi sjekker.

\[10 \cdot \sqrt{ 25 }=10 \cdot 5 = 50 \]

Påstand 1 stemmer, det tar 25 minutter å lade fra 0 % til 50 %.

Påstand 2
Vi vet at det tar 25 minutter å lade til 50 %. La oss tredoble tiden til 75 minutter og sjekke om dette gir oss 100 % lading.

$10\cdot \sqrt{ 75 }$ er vanskelig å regne ut, men jeg vet at svaret må være mellom $8$ og $9$ siden $8^{2}=64$ og $9^{2}=81$.

\[10 \cdot \sqrt{ 75 } \approx 10 \cdot 8{,}7 =87 \]

Påstand 2 stemmer ikke. Vi får ikke ladet mer enn omtrent 87 % på tre ganger så lang tid som fra 0 til 50 %.

Oppgave 1-3

Kennys lån

Kenny har et kredittlån på 400 000 kroner.

Han må betale renter og termingebyr hver måned. Han betaler ikke avdrag på lånet.
I rammen nedenfor ser du vilkårene for lånet til Kenny.

Kredittlån

Lånebeløp: 400 000 kroner
Rente: 1,5 % per måned
Terminer per år: 12
Termingebyr: 50 kroner
Avdrag: 0 kroner

Oppgave

Hvor mange kroner må jeg betale i renter per måned?
Hva blir kostnaden for lånet per år?

Fasit

a) 6000 kr
b) 72 600 kr

Løsningsforslag

a

Siden vi ikke betaler noe avdrag så blir rentene de samme hver måned.

\[400\,000 \cdot 0{,}015 = \underline{\underline{ 6\,000 \mathrm{~kr} }} \]

b

Det er 12 måneder med 6 000 kr i hver måned. I tillegg betaler vi 50 kr per måned i gebyr.

\[12 \cdot 6\,000 + 12 \cdot 50 = 72\, 000 + 600 = \underline{\underline{ 72\,600 \mathrm{~kr} }} \]

Oppgave 1-4

Tannhjul og skyvelære

Skyvelære med tannhjul

Kåre måler bredden av et tannhjul med skyvelære.

Oppgave

Hva er den minste mulige bredden på tannhjulet målt i millimeter med denne skyvelæren?

Tannhjul

Et annet tannhjul har 18 tenner.

Oppgave

Hvor mange grader er det mellom hver tann i tannhjulet?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-5

Konusformet aksling og konisitet

En avkappet kjegle der begge endeflatene er sirkler, kaller vi en konus. Se bildet under.

Ved å regne ut konisiteten kan vi finne ut hvor mye diameteren på konusen øker i forhold til lengden på konusen.

Formelen for konisitet er gitt ved

\[K = \frac{D - d}{l} \]

$K$ er konisiteten (forholdstallet)
$D$ er den største diameteren (millimeter)
$d$ er den minste diameteren (millimeter)
$l$ er lengden på konusen (millimeter)

Konus

Dina dreier en konusformet aksling med lengde $400 \mathrm{~mm}$, der den største diameteren er $30 \mathrm{~mm}$ og den minste diameteren er $10 \mathrm{~mm}$.

Hun gjør noen beregninger og stiller seg noen spørsmål:

Dina

Konisiteten til denne akslingen er $\frac{1}{25}$. Kan dette stemme?

Dina

Dersom jeg tegner en arbeidstegning av konusen i målestokk $1 : 2$, hva blir den største diameteren på arbeidstegningen?

Oppgave

Gjør dine egne beregninger, og vurder om det Dina har regnet ut, stemmer. Begrunn svarene dine.

Fasit

Løsningsforslag

Del 2

Oppgave 2-1

Nomogram for omdreiningstall og boring

Nedenfor ser du et nomogram for omdreiningstall, som brukes til maskinering, for eksempel i en dreiebenk.

I kolonnen til venstre velger vi diameteren ($d$) på det som roterer (for eksempel et bor)
I kolonnen til høyre velger vi skjærehastigheten ($v$)
Deretter trekker vi en linje mellom diameteren og skjærehastigheten og leser av omdreiningstallet ($n$) på aksen i midten

Nomogram for omdreiningstall

Dreiebenk. Kilde: Pixabay

	$v$ (m/min)	$d$ (mm)	$n$ (r/min)
Bor 1	20	12
Bor 2	10		100

Oppgave

Bruk nomogrammet og bestem hva som skal stå i de blå rutene i tabellen.

Formelen for å regne ut skjærehastighet er

\[v = \frac{\pi \cdot d \cdot n}{1000} \]

$v$ er skjærehastigheten for boret i meter per minutt (m/min)
$d$ er diameteren på boret i millimeter (mm)
$n$ er omdreiningstallet i runder per minutt (r/min)

Oppgave

Bruk den oppgitte formelen for skjærehastighet og finn verdien på omdreiningstallet ($n$) til bor 1.

Arbeidsstykket under har tykkelse $5 \mathrm{~mm}$. I dette skal det bores 5 hull med diameter $14 \mathrm{~mm}$. Massetettheten for jern er $7{,}874 \mathrm{~g/cm^3}$.

Arbeidsstykke med hull

Volum av en sylinder

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Oppgave

Hvor mange gram jern vil bli boret vekk fra arbeidsstykket?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-2

Ungdomsbedrift og motorsykler av stål

En ungdomsbedrift lager og selger små modeller av motorsykler laget av stål. I starten av året er det noe nødvendig utstyr de mangler. De har hentet inn tilbud på utstyret fra tre ulike leverandører:

		Pris per enhet uten mva.
Utstyr	Antall	Leverandør 1	Leverandør 2
Skyvelære	3	219 kr	160 kr
Tommestokk	3	47 kr	16 kr
Vernebriller	4	95 kr	119 kr
Sveisemasker	2	898 kr	556 kr

Elevene ønsker å kjøpe alt utstyret fra samme leverandør. De vurderer tilbudene og stiller seg noen spørsmål:

Green-box

Hvordan kan vi lage et regneark som viser totalprisen for innkjøpet fra hver av leverandørene? Vi må huske å legge til 25 % mva.

Hvordan kan en grafisk framstilling av de to totalkostnadene med mva. se ut?

Yellow-box

Hvor stor prosentandel av den totale prisen med mva. utgjør vernebrillene hos leverandør 1?

Blue-box

I 2024 var de totale kostnadene til ungdomsbedriften 3267 kr. Dette tilsvarte 22 % av de totale inntektene. Salgsprisen på en motorsykkel var 198 kr.

Hvor mange motorsykler solgte ungdomsbedriften i 2024?

Oppgave

Gjør beregninger og vurderinger, og finn ut mest mulig av det elevene lurer på.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-3

Alis lån til bedriften

Ali eier en bedrift. Han tar opp et serielån på 800 000 kroner i starten av et år.
Lånet skal betales ned i løpet av 5 år med én termin per år. Renten er 6,2 % per år.
Lånet er gebyrfritt.

Ali vil bruke et regneark til å lage en nedbetalingsplan. Nedenfor ser du hva han har laget så langt.

Oppgave

Lag et regneark som vist ovenfor. Lag formler i de grønne cellene slik at utregningene blir riktige. Husk å vise formlene du bruker i regnearket.

For å regne ut summen $S$ av renter du må betale for et serielån, kan du bruke formelen

\[S= \frac{L \cdot n + L}{2} \cdot \frac{r}{100} \]

$S$ er summen av renter
$L$ er lånebeløpet
$n$ er antall terminer
$r$ er renten i prosent (eksempel: Hvis renten er 4 %, blir $r=4$)

Oppgave

Bruk formelen til å finne summen av renter Ali må betale for serielånet sitt.

Fasit

a) –
b) 148 800 kr

Løsningsforslag

a

Et serielån har like store avdrag i hver termin. Avdraget er

\[\frac{800\,000}{5} = 160\,000 \, \mathrm{kr} \]

Rentene beregnes av restlånet ved starten av året. Regnearket under viser nedbetalingsplanen med verdier og formler.

Nedbetalingsplan for Alis serielån

Forklaring av formlene:

Renter = Lån starten av året $\cdot$ renten (f.eks. =B6*$B$2)
Avdrag = Lånebeløpet $\div$ antall terminer (f.eks. =$B$1/$B$3)
Terminbeløp = Renter + Avdrag (f.eks. =C6+D6)
Lån slutten av året = Lån starten av året $-$ Avdrag (f.eks. =B6-D6)
Lån starten av året (fra termin 2) = Lån slutten av forrige år (f.eks. =F6)

b

Vi vet at $L=800\,000$, $n=5$, $r=6{,}2$. Da kan vi regne ut $S$ med:

\[S=\frac{800000 \cdot 5 + 800000}{2} \cdot \frac{6{,}2}{100}=\frac{4\,800\,000}{2} \cdot 0{,}062 = 2\,400\,000 \cdot 0{,}062 = 148 \, 800 \]

Ali betaler 148 800 kr i renter.

Oppgave 2-4

Energisammenlikning ved og strøm

Lars vil kjøpe ved. Han finner tilbudet vist nedenfor.

Sekk med 40 liter ved

Pris	Vekt	Volum	Energi
79 kroner	15 kg	40 L	63 kWh

Oppgave

Hva blir volumet av 1 kg ved?

Lars ser på tilbudet og gjør denne utregningen:

\[\frac{79}{15} = 5{,}27 \]

Oppgave

Forklar hva tallet $5{,}27$ forteller om tilbudet.

Når Lars bruker strøm til elektrisk oppvarming av boligen, går 100 % av energien til oppvarming. Når Lars bruker ved til oppvarming av boligen, går 75 % av energien i veden til oppvarming.

En dag er prisen for elektrisk oppvarming $1{,}50 \mathrm{~kr/kWh}$. Lars lurer på hva slags type oppvarming som blir billigst.

Oppgave

Gjør beregninger, og gi Lars råd om hva han bør velge den dagen.

Fasit

a) 2,67 L
b) Prisen i kroner per kg med ved
c) Strøm er billigst

Løsningsforslag

a

Siden 40 L veier 15 kg så må 1 kg ved ha volumet

\[\frac{40 \mathrm{~L}}{15}=\underline{\underline{ 2{,}67 \mathrm{~L }}} \]

b

Lars har regnet ut

\[\frac{\text{Pris (kr)}}{\text{Vekt (kg)}} = \underline{\underline{ \text{Pris i kroner per kg ved} }} \]

c

Vi må sammenligne prisen per kWh for strøm og ved.

Strøm
Strømmen koster $1{,}50 \mathrm{~kr/kWh}$.

Ved
Vi beregner prisen for hver kWh. Siden det bare er 75 % som går til faktisk oppvarming så multipliserer vi energien i veden med 0,75.

\[\frac{79 \mathrm{~kr}}{63 \mathrm{~kWh} \cdot 0{,}75}=1{,}67 \mathrm{~kr/kWh} \]

Det er rimeligst å velge strøm for å varme opp boligen denne dagen. Det er 0,17 kr/kWh rimeligere enn å fyre med ved.

Oppgave 2-5

Lønnsalternativer ved avissalg

Elise skal gå fra dør til dør og selge aviser hver lørdag. En avis koster 49 kroner.

Firmaet hun skal arbeide for, beregner lønn på ulike måter. Elise kan velge mellom to tilbud.

Tilbud 1

Lønn: 35 % av beløpet hun selger aviser for

Tilbud 2

Fast lønn: 150 kroner per lørdag
Tillegg: 10 kroner per avis hun selger

Elise gjør seg noen tanker og stiller noen spørsmål.

Green-box

Hvor mye tjener jeg hvis jeg velger tilbud 1 og selger 15 aviser en lørdag?

Hvor mye tjener jeg hvis jeg velger tilbud 2 og selger 15 aviser en lørdag?

Blue-box

Jeg tror jeg kan selge flere enn 15 aviser hver lørdag.

Hvordan kan jeg lage en oversikt som viser hvilket tilbud som er best?

Oppgave

Svar på spørsmålene Elise stiller. Gjør beregninger og vurderinger, og gi Elise råd om hvilket tilbud hun bør velge.

Fasit

Tilbud 1 med 15 aviser: 257,25 kr. Tilbud 2 med 15 aviser: 300 kr. Tilbud 1 lønner seg fra og med 21 aviser.

Løsningsforslag

Tilbud 1 gir 35 % av salgsbeløpet. Hver avis koster 49 kr, så lønnen per avis er

\[0{,}35 \cdot 49 = 17{,}15 \, \mathrm{kr} \]

Vi setter opp et uttrykk for lønnen ved $x$ solgte aviser:

\[f(x) = 17{,}15 \cdot x \]

Tilbud 2 gir fast lønn pluss 10 kr per avis:

\[g(x) = 150 + 10 \cdot x \]

Hvor mye tjener Elise med 15 aviser?

Tilbud 1: $f(15) = 17{,}15 \cdot 15 = 257{,}25 \, \mathrm{kr}$
Tilbud 2: $g(15) = 150 + 10 \cdot 15 = 300 \, \mathrm{kr}$

Med 15 aviser er $\underline{\underline{\text{tilbud 2 best}}}$ med $300 \, \mathrm{kr}$ mot $257{,}25 \, \mathrm{kr}$.

Hvilken oversikt kan Elise lage?

Vi tegner begge grafene i GeoGebra og finner skjæringspunktet, se utklippet under.

Grafer for tilbud 1 (grønn) og tilbud 2 (rød)

Fra grafen ser vi at linjene krysser hverandre ved omtrent 21 aviser.

Vi kan også regne ut: $f(x) = g(x)$ når $17{,}15x = 150 + 10x$, altså $7{,}15x = 150$, som gir $x \approx 21$.

Antall aviser	10	15	20	21	25	30
Tilbud 1	171,50	257,25	343,00	360,15	428,75	514,50
Tilbud 2	250	300	350	360	400	450
Best	T2	T2	T2	≈ likt	T1	T1

Råd til Elise: Dersom hun tror hun kan selge 21 aviser eller flere per lørdag, bør hun velge tilbud 1. Selger hun færre enn 21, er tilbud 2 best.