Andregradsulikhet med faktorisering 1T V26

Fasit

\(\underline{\underline{x \in [-6,\,-1]}}\)

Løsningsforslag

Vi faktoriserer venstresiden. Vi søker to tall som ganget gir \(6\) og lagt sammen gir \(7\): det er \(1\) og \(6\).

Ulikheten blir:

Nullpunktene er \(x = -1\) og \(x = -6\).

Vi setter opp en fortegnslinje:

Produktet er \(\leq 0\) når \(-6 \leq x \leq -1\).

Løsningen er \(\underline{\underline{x \in [-6,\,-1]}}\).

Likningssystem med andregradsfunksjon 1T V26

Gitt likningssystemet

Fasit

a) \(x = -3,\ y = -5\) og \(x = 2,\ y = 0\)
b) Skjæringspunktene \((-3,\ {-5})\) og \((2,\ 0)\) leses av grafen.

Løsningsforslag

a

Vi løser likningssystemet ved innsetting. Fra den andre likningen isolerer vi \(y\):

Vi setter dette inn i den første likningen:

Vi faktoriserer andregradsuttrykket. Vi leter etter to tall med produkt \(-6\) og sum \(1\): det er \(3\) og \(-2\).

Dette gir

Vi finner tilhørende \(y\)-verdier ved å bruke \(y = x - 2\):

• \(x = -3\): \(y = -3 - 2 = -5\)
• \(x = 2\): \(y = 2 - 2 = 0\)

Løsningene er \(\mathbf{\underline{\underline{x = -3,\ y = -5}}}\) og \(\mathbf{\underline{\underline{x = 2,\ y = 0}}}\).

b

Vi tegner de to grafene i samme koordinatsystem:

• \(y = -x^2 + 4\) (parabel)
• \(y = x - 2\) (rett linje, omskrevet fra \(x - y = 2\))

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-5, 4, 400)
y_parabel = -x**2 + 4
y_linje = x - 2

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 6))
ax.plot(x, y_parabel, color='steelblue', linewidth=2.5, label=r'$y = -x^2 + 4$')
ax.plot(x, y_linje, color='tomato', linewidth=2.5, label=r'$y = x - 2$')

for p, label, xytext in [
    ((-3, -5), r'$(-3,\ -5)$', (-4.5, -3.5)),
    ((2, 0),   r'$(2,\ 0)$',   (2.3, 1.2)),
]:
    ax.plot(*p, 'ko', markersize=8, zorder=5)
    ax.annotate(label, xy=p, xytext=xytext, fontsize=11,
                arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='black'))

ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax.set_xlim(-5, 4); ax.set_ylim(-8, 6)
ax.legend(fontsize=11, loc='upper right')
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)
plt.tight_layout()
plt.savefig('_resources/1t-v26-1-2.png', dpi=150)

Grafene skjærer hverandre i punktene \(\mathbf{\underline{\underline{(-3,\ {-5})}}}\) og \(\mathbf{\underline{\underline{(2,\ 0)}}}\).

Tredjegradslikning ved polynomdivisjon 1T V26

Fasit

\(\underline{\underline{x = -4 \quad \vee \quad x = \dfrac{1}{2} \quad \vee \quad x = 2}}\)

Løsningsforslag

Vi prøver heltallsverdier for å finne én rot. Prøver \(x = 2\):

Siden \(x = 2\) er en rot, er \((x - 2)\) en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

Altså er

Vi løser andregradsleddet \(2x^2 + 7x - 4 = 0\) med \(abc\)-formelen:

Likningen \(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 = 0\) har løsningene

Identitet med andregradsuttrykk 1T V26

Gitt likningen

Fasit

\(a = 1\), \(b = 4\), \(c = 16\)

Løsningsforslag

For at likningen skal være en identitet, må venstre side og høyre side være like for alle verdier av \(x\). Vi utvider venstre side og sammenligner koeffisientene.

Vi utvider \(a(x+b)^2\):

For at dette skal være identisk med \(x^2 + 8x + c\), må koeffisientene for hvert ledd være like:

\(\underline{\underline{a = 1, \quad b = 4, \quad c = 16}}\)

Tallfølge med mønsterformel 1T V26

Susanne arbeider med tallfølgen

Hun ser et mønster og skriver

Fasit

a) \(\underline{\underline{57}}\)
b) \(\underline{\underline{a_n = (n-1) \cdot n + 1}}\)

Løsningsforslag

a

Mønsteret viser at tall nummer \(n\) er gitt ved \((n-1) \cdot n + 1\).

Vi setter inn \(n = 8\):

Tall nummer 8 i tallfølgen er \(\underline{\underline{57}}\).

b

Fra mønsteret ser vi at tall nummer \(n\) er

Dette kan også skrives som

Trekant med tangens lik 1 1T V26

Om en trekant \(ABC\) får du vite at

• vinkel \(B\) er \(90\degree\)
• tangens til vinkel \(A\) er \(1\)

Fasit

Trekanten er likebeint og rettvinklet med \(\underline{\underline{\angle A = \angle C = 45\degree}}\). Katetene er like lange og hypotenusen er \(k\sqrt{2}\).

Løsningsforslag

Vi vet at vinkel \(B = 90\degree\), så \(B\) er den rette vinkelen. Da er \(AB\) og \(BC\) katetene, og \(AC\) er hypotenusen.

Tangens til vinkel \(A\) er forholdet mellom motstående og hosliggende katet:

Dette betyr at \(BC = AB\). Begge katetene er altså like lange – vi kaller dem \(k\).

Hypotenusen \(AC\) finner vi med Pythagoras:

Siden katetene er like lange, er trekanten likebeint. Vinklene \(A\) og \(C\) må da være like store, og siden \(\angle A + \angle C = 90\degree\), får vi:

Trekanten er en 45-45-90-trekant (likebeint rettvinklet trekant).

Figuren er laget med følgende Python-kode:

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as patches

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 5))
ax.set_aspect('equal')

# Hjørner: B i origo (rett vinkel), A til venstre, C oppover
B = (0, 0)
A = (-1, 0)
C = (0, 1)

triangle = plt.Polygon([A, B, C], fill=False, edgecolor='black', linewidth=2)
ax.add_patch(triangle)

# Rett vinkel-markering i B
sq = patches.Rectangle((0, 0), 0.07, 0.07,
                        linewidth=1, edgecolor='black', facecolor='none')
ax.add_patch(sq)

# Buelinje for vinkel A og C
angle_arc = patches.Arc(A, 0.3, 0.3, angle=0, theta1=0, theta2=45,
                        color='steelblue', linewidth=1.5)
ax.add_patch(angle_arc)
angle_arc_c = patches.Arc(C, 0.3, 0.3, angle=0, theta1=225, theta2=270,
                           color='tomato', linewidth=1.5)
ax.add_patch(angle_arc_c)

Trekanten er altså likebeint og rettvinklet med katetene \(k\) og hypotenusen \(k\sqrt{2}\), og vinklene er \(\angle B = 90\degree\) og \(\angle A = \angle C = 45\degree\).

Eksakte verdier av sin og cos 30 grader 1T V26

Fasit

a) Se løsningsforslag
b) \(\text{Areal} = 10\sqrt{3}\)
c) \(\text{Omkrets} = 18 + 10\sqrt{3}\)

Løsningsforslag

a

Den likebeinte trekanten i oppgaven har toppvinkel \(30°\) og de to like sidene har lengde \(4\).

Vi speiler trekanten om én av de like sidene og setter de to trekantene sammen til én stor trekant. Den store trekanten har tre vinkler på \(60°\) og alle tre sidene er \(4\), altså er den likebeint.

Vi trekker nå høyden fra toppen ned til grunnflaten i den likesidede trekanten. Høyden deler trekanten i to like rettvinklede trekanter. Hver av disse rettvinklede trekantene har:

• Hypotenuse: \(4\) (en side av den likesidede trekanten)
• Kortkatet: \(\dfrac{4}{2} = 2\) (halve grunnflaten)
• Vinkel mot hypotenuse ved grunnflaten: \(60°\)
• Vinkel mot hypotenuse ved toppen: \(30°\)

I den rettvinklede trekanten kan vi nå lese av:

For å finne lengstkateten \(h\) (høyden) bruker vi Pytagoras:

Dermed er:

b

Trekanten har to sider på \(10\sqrt{3}\) og \(4\) med \(30°\) mellom dem. Vi bruker arealsetningen:

Vi setter inn \(\sin 30° = \dfrac{1}{2}\):

Arealet er \(\underline{\underline{10\sqrt{3}}}\).

c

La \(x\) være den ukjente siden (motstående \(30°\)-vinkelen). Vi bruker cosinussetningen:

Vi setter inn \(\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\):

Omkretsen er:

Rasjonale funksjoner med asymptoter 1T V26

En rasjonal funksjon \(f\) har

• ingen nullpunkt
• to vertikale asymptoter

En rasjonal funksjon \(g\) har horisontal asymptote \(y=2\). Grafen til \(g\) skjærer ikke \(y\)-aksen.

Fasit

a) \(\underline{\underline{f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}}}\)
b) \(\underline{\underline{g(x) = \dfrac{2x - 1}{x}}}\)

Løsningsforslag

a

Vi skal konstruere en rasjonal funksjon \(f\) som har ingen nullpunkter og to vertikale asymptoter.

Idé: En rasjonal funksjon \(\frac{p(x)}{q(x)}\) har

• nullpunkter der telleren \(p(x) = 0\)
• vertikale asymptoter der nevneren \(q(x) = 0\) (og telleren ikke er 0)

Vi velger telleren til å være konstanten \(1\), som aldri blir null. Da får vi ingen nullpunkter uansett hva som skjer i nevneren.

For å få to vertikale asymptoter trenger vi at nevneren har to ulike reelle nullpunkter. Vi velger

som har nullpunktene \(x = 1\) og \(x = -1\).

Vi setter

Argumentasjon:

• Ingen nullpunkter: Telleren er \(1 \neq 0\) for alle \(x\), så \(f(x) = 0\) har ingen løsning.
• To vertikale asymptoter: Nevneren \(x^2 - 1 = 0\) gir \(x = 1\) og \(x = -1\). I disse punktene er \(f\) udefinert og \(|f(x)| \to \infty\). Dermed er \(\textcolor{tomato}{x = 1}\) og \(\textcolor{tomato}{x = -1}\) vertikale asymptoter.

\(f\) er en rasjonal funksjon fordi den er et forhold mellom to polynomer.

Svar: \(\underline{\underline{f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}}}\)

b

Vi skal konstruere en rasjonal funksjon \(g\) med horisontal asymptote \(y = 2\) som ikke skjærer \(y\)-aksen.

Horisontal asymptote: En rasjonal funksjon \(\frac{p(x)}{q(x)}\) der teller og nevner har samme grad, har horisontal asymptote \(y = \frac{a}{b}\), der \(a\) er ledende koeffisient i telleren og \(b\) er ledende koeffisient i nevneren.

Vi velger teller og nevner av grad 1:

Her er ledende koeffisient i telleren \(2\), og ledende koeffisient i nevneren \(1\).

Argumentasjon:

• Horisontal asymptote \(y = 2\): Vi skriver om:

  \[\textcolor{steelblue}{g(x) = \frac{2x - 1}{x} = 2 - \frac{1}{x}} \]

  Når \(x \to \pm\infty\) går \(\frac{1}{x} \to 0\), og dermed \(g(x) \to 2\). Den horisontale asymptoten er \(\textcolor{seagreen}{y = 2}\).

• Skjærer ikke \(y\)-aksen: \(g(0) = \frac{2 \cdot 0 - 1}{0} = \frac{-1}{0}\) er udefinert. Dermed er \(g\) ikke definert for \(x = 0\), og grafen skjærer ikke \(y\)-aksen. (\(x = 0\) er en vertikal asymptote.)

\(g\) er en rasjonal funksjon fordi den er et forhold mellom to polynomer.

Svar: \(\underline{\underline{g(x) = \dfrac{2x-1}{x}}}\)

Derivert av andregradsfunksjon fra tangent 1T V26

Nedenfor ser du grafen til en andregradsfunksjon \(f\)

• Bunnpunktet har koordinater \((-1,\ -12{,}5)\)
• Den rette linjen er en tangent med stigningstall \(5\)

Fasit

a) \(f'(4) = 5\) fordi tangentens stigningstall i et punkt er lik den deriverte i det punktet.
b) \(f'(x) = x + 1\)

Løsningsforslag

a

Den deriverte \(f'(a)\) er definert som stigningstallet til tangenten til grafen av \(f\) i punktet \(x = a\).

Vi er gitt at tangentens stigningstall i \(x = 4\) er \(5\).

Derfor er \(\mathbf{f'(4) = 5}\).

b

Siden \(f\) er en andregradsfunksjon, er \(f'(x)\) en lineær funksjon (førstegradsfunksjon) på formen

Vi trenger to verdier for å bestemme \(a\) og \(b\).

Første verdi: bunnpunktet

I bunnpunktet er tangenten horisontal, slik at stigningstallet er \(0\). Bunnpunktet har \(x\)-koordinat \(-1\), så:

Andre verdi: fra deloppgave a)

Finn stigningstallet \(a\):

Finn konstantleddet \(b\):

Vi bruker \(f'(-1) = 0\):

Kontroll: \(f'(4) = 1 \cdot 4 + 1 = 5\) ✓

CO2-utslipp og optimal fart 1T V26

Fru Hansen eier en gammel bil. Når hun kjører med en fart på \(x\) km/h, slipper bilen ut \(U(x)\) gram CO₂ per kilometer, der \(U(x)\) er gitt ved

Fru Hansen kjører med en fart på \(90 \mathrm{~km/h}\) i \(20\) minutter.

Fasit

a) \(\underline{\underline{U(50) = 176{,}5 \, \mathrm{g/km}}}\)
b) Minst utslipp ved fart \(\underline{\underline{x \approx 71{,}5 \, \mathrm{km/h}}}\), utslipp \(\underline{\underline{U(71{,}5) \approx 163{,}4 \, \mathrm{g/km}}}\)
c) \(\underline{\underline{\approx 5098 \, \mathrm{g} \approx 5{,}1 \, \mathrm{kg}}}\)

Løsningsforslag

Nedenfor vises grafen til \(U(x)\) med de tre aktuelle punktene markert. Grafen er laget med Python og matplotlib:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(30, 110, 500)
U = 5400/x + 0.0074*x**2 + 50

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 5.5))
ax.plot(x, U, color='steelblue', linewidth=2.2)

# Markerte punkter
ax.plot(50, 176.5, 'o', color='seagreen', markersize=9)   # a)
ax.plot(71.46, 163.36, 'o', color='tomato', markersize=9)  # b) minimum
ax.plot(90, 169.94, 'o', color='orange', markersize=9)     # c)

ax.set_xlabel('Fart x (km/h)')
ax.set_ylabel('CO2-utslipp U(x) (g/km)')
plt.savefig('1t-v26-2-1.png', dpi=150)

a

Vi setter inn \(x = 50\) i uttrykket for \(U(x)\):

Bilen slipper ut \(176{,}5\) gram CO₂ per kilometer ved \(50 \, \mathrm{km/h}\).

b

Vi finner minimum ved å derivere \(U(x)\) og sette den deriverte lik null.

Vi setter \(U'(x) = 0\):

Fra grafen ser vi at \(U(x)\) har et bunnpunkt (minimum) ved \(x \approx 71{,}5\), som stemmer med utregningen.

Vi regner ut utslippet ved denne farten:

Minst utslipp per kilometer er \(163{,}4 \, \mathrm{g/km}\), og oppnås ved fart \(\approx 71{,}5 \, \mathrm{km/h}\).

c

Vi setter inn \(x = 90\) og finner utslippet per kilometer:

Fru Hansen kjører i \(20\) minutter med fart \(90 \, \mathrm{km/h}\). Vi finner strekningen:

Totalt CO₂-utslipp over de \(30 \, \mathrm{km}\):

Bilen slipper ut omtrent \(5098\) gram (\(5{,}1 \, \mathrm{kg}\)) CO₂ i løpet av disse \(20\) minuttene.

Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26

Gitt figuren ovenfor.

Fasit

a) \(\underline{\underline{AB = \sqrt{2+\sqrt{3}} \approx 1{,}93}}\)
b) \(\underline{\underline{T_{ABD} = \dfrac{5\sqrt{3}+9}{12} \approx 1{,}47}}\)

Løsningsforslag

a

I trekant \(ABC\) kjenner vi to sider og den mellomliggende vinkelen:

• \(AC = \sqrt{2}\)
• \(CB = 1\)
• \(\angle ACB = 105°\)

Vi bruker derfor cosinussetningen for å finne \(AB\):

Numerisk:

import math
AB_sq = 2 + 1 - 2*math.sqrt(2)*math.cos(math.radians(105))
print(AB_sq, math.sqrt(AB_sq))
# 3.7320508..., 1.9318516...

Vi får \(AB^2 \approx 3{,}732\), så

(Den eksakte verdien \(2+\sqrt{3}\) kommer fra \(\cos 105° = -\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\), som gir \(AB^2 = 3 + \tfrac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2} = 3 + \tfrac{\sqrt{12}-2}{2} = 2 + \sqrt{3}\).)

\(\underline{\underline{AB \approx 1{,}93}}\)

b

Vi deler trekant \(ABD\) i de to deltrekanene \(ABC\) og \(ACD\), og beregner arealet av hver.

Areal av trekant \(ABC\):

Finn \(CD\) ved sinussetningen i trekant \(ACD\):

Siden \(\angle ACB = 105°\) er \(\angle ACD = 180° - 105° = 75°\) (supplementvinkler). I trekant \(ACD\) er \(\angle D = 60°\), \(\angle ACD = 75°\), og dermed \(\angle CAD = 180° - 60° - 75° = 45°\).

Sinussetningen i trekant \(ACD\) gir

Areal av trekant \(ACD\):

Vi bruker \(\sin 75° = \sin(45°+30°) = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\):

Totalt areal:

Felles nevner 12:

\(\underline{\underline{T_{ABD} = \dfrac{5\sqrt{3}+9}{12} \approx 1{,}47}}\)

Vipebestand med eksponentielle modeller 1T V26

Vipa er kritisk truet fuglearti Norge.

I 2013 ble bestanden av viper anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par.

Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover. Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell.

La \(x\) være antall år etter 2013.

Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til vipa. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg.

Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen \(p\). Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen \(q\). Nedenfor ser du grafene til de to modellene.

Fasit

a) \(f(x) = -\dfrac{6500}{9}x + 9000 \approx -722{,}2x + 9000\)
b) \(g(x) = 9000 \cdot 0{,}867^x\)
c) \(p(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x\), \(\quad q(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x + 2000\)

Løsningsforslag

a

Vi bruker de to datapunktene \((0, 9000)\) og \((9, 2500)\).

En lineær modell har formen \(f(x) = ax + b\).

Siden \(x = 0\) svarer til år 2013 og bestanden da var 9000, får vi direkte

Stigningstallet finner vi ved

Den lineære modellen er

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen synker bestanden med omtrent \(\mathbf{722}\) par per år. Modellen predikerer at bestanden faller til null rundt \(x \approx 12{,}5\), dvs. rundt år 2025–2026.

b

En eksponentiell modell har formen \(g(x) = 9000 \cdot b^x\) (startverdi 9000 ved \(x = 0\)).

Vi bruker punktet \((9, 2500)\):

Den eksponentielle modellen er

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen avtar bestanden med ca. \(\mathbf{13{,}3\,\%}\) per år (siden \(b \approx 0{,}867\) betyr \(1 - 0{,}867 = 0{,}133 = 13{,}3\,\%\) nedgang). Bestanden nærmer seg null, men når aldri null.

c

Egils antakelse: Egil antar at bestanden ikke vil falle til null, men stabilisere seg på 2000 par. Modell \(q\) har derfor en horisontal asymptote ved \(y = 2000\).

Konstruksjon av \(p\):

Egil lager først modellen \(p\) ved å trekke fra 2000 fra alle bestandsverdier – han ser på den «overskytende» bestanden utover 2000 par:

• Ved \(x = 0\): \(9000 - 2000 = 7000\)
• Ved \(x = 9\): \(2500 - 2000 = 500\)

Modellen \(p\) er eksponentiell med startverdi 7000:

Vi finner \(c\) fra punktet \((9, 500)\):

Konstruksjon av \(q\):

Egil hever \(p\) opp med 2000 (legger tilbake det han trakk fra) slik at bestanden stabiliserer seg ved 2000 par:

Tolkning: Modell \(q\) har horisontal asymptote \(y = 2000\): bestanden avtar fortsatt eksponentielt, men tilnærmer seg 2000 par på sikt uten å falle under det. Dette gjenspeiler antakelsen om at vernearbeidet vil stabilisere bestanden på minst 2000 par.

Programmering av kuler og pinner i figurserie 1T V26

Kristian er kunstner. Han arbeider med et prosjekt der han skal lage en serie med figurer ved å lime kuler på pinner.

Ovenfor ser du de fire første figurene i serien. For å lage figur \(4\) har Kristian brukt \(7\) pinner og \(12\) kuler.

Tenk deg at Kristian skal lage de \(50\) første figurene i denne serien.

Fasit

Kristian trenger \(\underline{\underline{2500 \text{ pinner}}}\) og \(\underline{\underline{41650 \text{ kuler}}}\).

Løsningsforslag

Vi studerer mønsteret fra figur 1 til 4:

Pinner: Fra figur til figur kommer det til én vertikal og én horisontal pinne, altså 2 pinner ekstra. Figur 1 har 1 pinne, så antall pinner i figur \(n\) er

Kuler: Figurene danner et rektangulært mønster med \(n\) rader og \(n - 1\) kolonner av kuler. Antall kuler i figur \(n\) er

Vi kan verifisere mot oppgaveteksten: figur 4 har \(2 \cdot 4 - 1 = 7\) pinner og \(4 \cdot 3 = 12\) kuler. ✓

Programmet bruker en løkke fra \(n = 1\) til \(n = 50\) og summerer opp:

# Beregn totalt antall pinner og kuler for de 50 første figurene
# Figur n: pinner = 2n - 1, kuler = n*(n-1)

totalt_pinner = 0
totalt_kuler = 0

for n in range(1, 51):
    pinner = 2 * n - 1       # antall pinner i figur n
    kuler = n * (n - 1)      # antall kuler i figur n
    totalt_pinner += pinner
    totalt_kuler += kuler

print(f"Totalt antall pinner: {totalt_pinner}")
print(f"Totalt antall kuler:  {totalt_kuler}")

Output:

Totalt antall pinner: 2500
Totalt antall kuler:  41650

Kristian trenger 2500 pinner og 41650 kuler til de 50 første figurene.