Normalfordelt intelligens
Intelligenskvotienten (IQ) er et mål på intelligensen til en person. Antall poeng som en tilfeldig person skårer på en IQ-test \(X\) antar vi i denne oppgaven å være normalfordelt med forventningsverdi \(\mu=100\) og standardavvik \(\sigma=15\).
- Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person vil skåre mindre enn 95 poeng på en slik IQ-test.
Mensa Norge er en forening for de skårer høyest på slike IQ-tester. Kun 2 % av befolkningen kan bli medlem av Mensa.
- Hvor mange poeng må du minst skåre på en slik test, for å kunne bli medlem av Mensa?
Fasit
a) ca. \(37 \,\%\)
b) minst \(131\) IQ-poeng
Løsningsforslag
\(X\) er tilnærmet normalfordelt med \(\mu = 100\) og \(\sigma = 15\).
a
Vi standardiserer og slår opp i normalfordelingstabellen:
\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{95 - 100}{15} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} \approx -0{,}33
\]
Fra normalfordelingstabellen:
\[P(X < 95) = P(Z < -0{,}33) \approx 0{,}3707
\]
Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person skårer under 95 poeng er \(\underline{\underline{\approx 37 \,\%}}\).
b
Vi vil finne \(x\) slik at \(P(X \geq x) = 0{,}02\), altså \(P(X < x) = 0{,}98\).
Vi slår opp baklengs i normalfordelingstabellen og finner \(z\)-verdien der \(\Phi(z) = 0{,}98\):
\[z \approx 2{,}05
\]
Nå regner vi om til IQ-poeng:
\[x = \mu + z \cdot \sigma = 100 + 2{,}05 \cdot 15 = 100 + 30{,}75 = 130{,}75
\]
Siden IQ-skåren er et heltall, runder vi opp:
\[x = 131
\]
Du må minst skåre \(\underline{\underline{131}}\) IQ-poeng for å bli medlem av Mensa.