S2 eksamen H2013

Oversikt over eksamensoppgavene

Del 1 — None timer — uten hjelpemidler

№	Navn	Temaer	LF
1-2	Forventningsverdi og varians fra graf av normalfordeling	normalfordeling, standard normalfordeling	×

Del 1

Oppgave 1-2

Forventningsverdi og varians fra graf av normalfordeling

I en gruppe elever er høyden tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi \(\mu\) og standardavvik \(\sigma\).

I denne fordelingen er 10 % av elevene lavere enn 173 cm og 10 % er høyere enn 183 cm.

Oppgave

Bestem \(\mu\).
Hvor mange prosent av elevene er lavere enn 183 cm.
Bestem \(\sigma\)

Kommentar

Denne oppgaven ble egentlig gitt til del 2, men jeg har satt den opp som en del 1 oppgave her, siden den absolutt kan gis på del 1 til eksamen så lenge dere har normalfordelingstabell tilgjengelig.

Fasit

a) 178 cm
b) 90 %
c) 3,9 cm

Løsningsforslag

a

Normalfordelingen er symmetrisk om forventningsverdien \(\mu\). Vi vet at 10 % er lavere enn 173 cm og 10 % er høyere enn 183 cm. Siden begge halene har like stor andel (10 %), må \(\mu\) ligge midt mellom 173 og 183:

\[\mu = \frac{173 + 183}{2} = \frac{356}{2} = \mathbf{\underline{\underline{178 \, \mathrm{cm}}}} \]

b

Vi bruker komplementregelen. Siden 10 % er høyere enn 183 cm, er de resterende 90 % lavere enn 183 cm:

\[P(X < 183) = 1 - P(X > 183) = 1 - 0{,}10 = \mathbf{\underline{\underline{0{,}90 = 90 \,\%}}} \]

c

Vi vet at \(P(X < 173) = 0{,}10\). Vi standardiserer ved å innføre den standardnormalfordelte variabelen \(Z\):

\[P(X < 173) = P\!\left(Z < \frac{173 - 178}{\sigma}\right) = P\!\left(Z < \frac{-5}{\sigma}\right) = 0{,}10 \]

Fra normalfordelingstabellen finner vi \(z\)-verdien der \(\Phi(z) = 0{,}10\). Vi ser at \(\Phi(-1{,}28) \approx 0{,}10\), altså:

\[\frac{-5}{\sigma} = -1{,}28 \]

\[\sigma = \frac{5}{1{,}28} \approx \mathbf{\underline{\underline{3{,}9 \, \mathrm{cm}}}} \]