Tobias og daglig vannbehov

Tobias lurer på hvor mye vann han bør drikke hver dag. Han finner ulike svar på ulike nettsider. På en nettside finner han teksten nedenfor.

Tobias veier 70 kg.

Fasit

\(2{,}1 \, \mathrm{L}\)

Løsningsforslag

Tobias veier 70 kg og trenger ca. 30 mL væske per kilogram kroppsvekt.

Tobias bør drikke omtrent \(\underline{\underline{2{,}1 \, \mathrm{L}}}\) vann i løpet av et døgn.

Sosiale medier og prosentpoeng

Opplysningene ovenfor er hentet fra ssb.no.

Fasit

Overskriften samsvarer ikke helt: \(88 \,\%\) er ikke det samme som \(90 \,\%\) («ni av ti»), men det er en rimelig forenkling/avrunding.

Økningen på 8 prosentpoeng tilsvarer en økning på \(\underline{\underline{10 \,\%}}\).

Løsningsforslag

Del 1 – Samsvarer overskriften?

Overskriften sier «ni av ti», som betyr \(\frac{9}{10} = 90 \,\%\).

Teksten sier \(88 \,\%\).

\(88 \,\%\) er ikke det samme som \(90 \,\%\), så overskriften stemmer ikke nøyaktig. Men \(88 \,\%\) er nær \(90 \,\%\), og «ni av ti» er en enkel og lettfattelig formulering. Overskriften er altså en forenkling, men ikke grovt misvisende.

Del 2 – Hvor mange prosent tilsvarer 8 prosentpoeng?

For fem år siden brukte

av nordmenn sosiale medier. (Vi trekker 8 prosentpoeng fra dagens \(88 \,\%\).)

Økningen i antall prosentpoeng er \(88 - 80 = 8\) prosentpoeng.

Vi beregner hvor mange prosent dette er av utgangspunktet:

Økningen på 8 prosentpoeng tilsvarer en økning på \(\underline{\underline{10 \,\%}}\).

Ohms lov og proporsjonal sammenheng

Ohms lov sier at strømmen (\(I\)) gjennom en metallisk leder med konstant temperatur er proporsjonal med spenningen (\(U\)) og omvendt proporsjonal med motstanden (\(R\)) i lederen.

Fasit

1. Sann — strømmen øker når spenningen øker.
2. Usann — strømmen avtar når motstanden øker.

Løsningsforslag

Ohms lov kan skrives som formelen

der \(I\) er strømmen, \(U\) er spenningen og \(R\) er motstanden.

Påstand 1: Hvis vi øker spenningen, vil strømmen også øke.

Ifølge Ohms lov er \(I\) proporsjonal med \(U\) (når \(R\) er konstant). Det betyr at når spenningen \(U\) øker, vil strømmen \(I\) også øke.

Påstanden er sann.

Påstand 2: Hvis vi øker motstanden, vil strømmen også øke.

Ifølge Ohms lov er \(I\) omvendt proporsjonal med \(R\) (når \(U\) er konstant). Det betyr at når motstanden \(R\) øker, vil strømmen \(I\) avta — ikke øke.

For eksempel: hvis motstanden dobles, halveres strømmen.

Påstanden er usann.

Sondres modell for hundeår

Hunder utvikler seg raskere enn mennesker. Når en hund er 1 år gammel, tilsvarer det 16 menneskeår. Se tabellen nedenfor.

Sondre har en hund som er 2 år gammel. Han mener funksjonen \(H\) gitt ved

kan brukes som en modell for hvor mange menneskeår \(H(x)\) en stor hund er når den er \(x\) hundeår.

Sondre påstår at modellen han har funnet, viser at alderen til en hund er proporsjonal med alderen til et menneske.

Fasit

a) Stigningstallet er \(6\) (store hunder vokser med 6 menneskeår per hundeår etter fylte 2 år). Konstantleddet er \(12\), funnet ved å bruke punktet \((2, 24)\). Modellen er gyldig for \(x \geq 2\).
b) Påstanden stemmer ikke. \(H(x) = 6x + 12\) er ikke proporsjonal fordi den ikke går gjennom origo.

Løsningsforslag

a

Vi ser på kolonnen «Store hunder» i tabellen og ser på endringene fra \(x = 2\) år og oppover:

Endringen er konstant lik \(6\) for hvert hundeår. Dette betyr at stigningstallet i en lineær modell er \(6\).

Vi bruker punktet \((2, 24)\) fra tabellen og stigningstallet \(a = 6\):

Vi setter inn \(x = 2\) og \(H(2) = 24\):

Slik kommer Sondre fram til \(H(x) = 6x + 12\).

Modellen er gyldig for \(x \geq 2\). Fra tabellen ser vi at alle de tre hundekategoriene har samme verdier frem til og med \(x = 2\) år (\(H = 24\)). Først fra \(x = 3\) begynner de å skille seg. Modellen beskriver den lineære veksten for store hunder, og denne lineariteten starter ved \(x = 2\).

b

For at en sammenheng skal være proporsjonal, må den gå gjennom origo. Det vil si at funksjonen må ha formen \(y = k \cdot x\), der \(k\) er en konstant.

Vi sjekker om \(H(x) = 6x + 12\) er proporsjonal ved å sette inn \(x = 0\):

Siden \(H(0) = 12 \neq 0\), går ikke grafen gjennom origo.

Påstanden til Sondre stemmer ikke. \(H(x) = 6x + 12\) er en lineær funksjon, men ikke en proporsjonal sammenheng. En proporsjonal sammenheng ville for eksempel hatt formen \(H(x) = k \cdot x\) for et tall \(k\), men modellen har et konstantledd på \(12\) som gjør at det ikke er proporsjonalitet.

Dennis bil og verdifall

På en nettside har Dennis funnet teksten nedenfor.

Dennis vil kjøpe en ny bil som koster 490 000 kroner.

Fasit

\(\underline{\underline{490\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}86 = 337\,120 \, \mathrm{kr}}}\)

Løsningsforslag

Det første året faller bilen i verdi med \(20 \,\%\). Det vil si at bilen beholder \(100 \,\% - 20 \,\% = 80 \,\%\) av verdien. Vekstfaktoren er \(0{,}80\).

Det andre året faller bilen i verdi med \(14 \,\%\) av bruktprisen. Bilen beholder da \(100 \,\% - 14 \,\% = 86 \,\%\) av verdien. Vekstfaktoren er \(0{,}86\).

Vi multipliserer startverdien med begge vekstfaktorene for å finne verdien etter 2 år:

Bilens verdi etter 2 år er \(\underline{\underline{337\,120 \, \mathrm{kr}}}\).

Modell for antall fiskere

Tabellen nedenfor viser antall personer i Norge som hadde fiske som hovedyrke noen år i perioden 1952–2022.

Fasit

a) \(F(x) = 66\,360 \cdot 0{,}9714^{x}\)
b) Ca. 3 645 fiskere i 2050
c) \(a \approx -477\) fiskere per år

Løsningsforslag

a

Jeg la inn årstallene, antall år etter 1950 og antallet fiskere i regnearket i GeoGebra. Se figuren.

Punktene så ut til å passe godt med en eksponentiell modell, og det virker fornuftig at antallet fiskere minker med en relativt fast prosentandel hvert år. Den eksponentielle modellen vil også aldri treffe 0, slik at den kan brukes langt fram i tid.

\(\underline{\underline{ F(x)=66\,360 \cdot 0{,}9714^{x} }}\) er en god modell for antall fiskere i denne perioden.

b

Vi kan bruke modellen for å finne ut hvor mange fiskere det vil være i 1950. Vi regner ut \(F(100)\) i GeoGebra siden 2050 tilsvarer
\(x=100\). Se linje 2 (merket med a) i utklippet.

Det er vanskelig å vurdere gydligheten til denne modellen. Jeg vurderer at vi ikke bør bruke den lenger fram i framtida enn 2050. For eksempel er det kun 854 fiskere igjen i 2100 ifølge modellen. Det høres lite ut. Et fornuftig gyldighetsområde kan være \(x \in \left[ 0,100 \right]\).

Det er omtrent 3645 fiskere i 2050 ifølge modellen vår. Jeg vurderer at modellen er gyldig fra 1950 til 2050.

c

Se figur 1. Jeg la inn punktene og trakk en linje mellom dem. Deretter målte jeg stigningen med stigningsverktøyet.

Stigningstallet til den rette linjen er \(-477\). Det betyr at i gjennomsnitt sluttet 477 (netto) i yrket sitt mellom årene 1980 \((x=30)\) og 2020 \((x=70)\).

Sofie og prosentvis arealendring

Sofie har et rektangelformet uteområde. Hun vil endre på dette området ved å øke lengden med 10 % og redusere bredden med 20 %.

Fasit

Arealet minker med \(\underline{\underline{12 \,\%}}\).

Løsningsforslag

Vi kaller det opprinnelige rektangelet for lengde \(l\) og bredde \(b\).

Arealet er \(A = l \cdot b\).

Lengden øker med 10 %, så vekstfaktoren er \(1{,}10\).

Bredden reduseres med 20 %, så vekstfaktoren er \(0{,}80\).

Det nye arealet blir:

Vi finner den samlede vekstfaktoren for arealet:

En vekstfaktor på \(0{,}88\) betyr at det nye arealet er \(88 \,\%\) av det opprinnelige.

Prosentvis endring:

Arealet minker med \(\underline{\underline{12 \,\%}}\).

Pølser rundt jorda

Opplysningene nedenfor er hentet fra nrk.no

• Vi spiser omtrent 500 millioner pølser i Norge hvert år.
• 13 millioner av disse pølsene spiser vi 17. mai.
• Om vi hadde lagt alle pølsene nordmenn spiser i løpet av et år, etter hverandre, ville vi kommet to og en halv gang rundt jorda.

Jordens radius er 6378 km ved ekvator.

Fasit

a) Ca. 16 pølser per sekund
b) \(\underline{\underline{2{,}6 \,\%}}\)
c) Ca. 20 cm

Løsningsforslag

a

Det er 365 dager i et år. Vi regner ut antall sekunder i ett år:

Antall pølser per sekund blir:

Vi spiser omtrent \(\underline{\underline{16 \text{ pølser per sekund}}}\).

b

Vi finner hvor mange prosent 13 millioner er av 500 millioner:

Vi spiser \(\underline{\underline{2{,}6 \,\%}}\) av årets pølser den 17. mai.

c

Vi beregner jordens omkrets ved ekvator. Omkretsen av en sirkel er \(O = 2\pi r\), der \(r = 6378 \, \mathrm{km}\):

To og en halv gang rundt jorda gir en total lengde på:

Vi gjør om til centimeter:

Gjennomsnittlig pølselengde:

NRK har regnet med at en pølse er omtrent \(\underline{\underline{20 \, \mathrm{cm}}}\) lang.

Snorre og Miras sjokolade

Snorre har en hund som heter Mira. Mira har spist 200 g melkesjokolade.

Snorre har hørt at sjokolade er giftig for hunder, og lurer på hva han skal gjøre.

Han finner informasjonen nedenfor på helsenorge.no

• Sjokolade inneholder teobromin, som er giftig for hunder.
• I norsk melkesjokolade er det ca. \(1{,}2 \mathrm{~mg}\) teobromin per gram sjokolade.
• Hunder som har spist mer enn 20 mg teobromin per kg kroppsvekt, kan få kliniske tegn på forgiftning.
• Kontakt veterinær hvis hunden din har spist en giftig mengde sjokolade.

Fasit

Antakelse: Mira veier ca. \(10 \, \mathrm{kg}\) (liten til mellomstor hund).

Kritisk vekt: \(\underline{\underline{12 \, \mathrm{kg}}}\) — siden Mira sannsynligvis veier under dette, bør Snorre kontakte veterinær.

Løsningsforslag

Jeg starter med å finne ut hvor mye teobromin Mira har fått i seg.

Så finner jeg hva som er den kritiske grensen. Hunder som har spist mer enn \(20 \, \mathrm{mg}\) teobromin per \(\mathrm{kg}\) kroppsvekt kan bli syke. Jeg kaller den kritiske kroppsvekten for \(v\), og setter opp en likning:

Antakelse: Jeg antar at Mira er en vanlig familiehund og veier ca. \(10 \, \mathrm{kg}\).

Siden Mira sannsynligvis veier mindre enn \(12 \, \mathrm{kg}\), har hun fått mer enn den kritiske dosen teobromin.

Snorre bør kontakte veterinær.

Hvis Mira derimot hadde veid mer enn \(12 \, \mathrm{kg}\), ville mengden teobromin vært under den kritiske grensen.

Rektangel innskrevet i trekant

Klassen til Maria og Marta arbeider med oppgaven nedenfor.

Martin og Maria diskuterer hvordan de skal komme i gang, og vurderer ulike strategier.

Fasit

\(P = (3, 3)\), maksimalt areal \(= \underline{\underline{18}}\)

Løsningsforslag

Steg 1: Finn likningen for linje BC

Maria sier at \(y = 6 - x\). Vi kan verifisere: linjen går gjennom \(B(6, 0)\) og \(C(0, 6)\).

Stigningstall: \(\dfrac{6 - 0}{0 - 6} = -1\), og skjæring med \(y\)-aksen er \(6\), så

Dermed: Velger vi et punkt \(P\) med \(x\)-koordinat \(x\), blir \(y\)-koordinaten \(y = 6 - x\).

Steg 2: Sett opp arealet

Rektangelet er symmetrisk om \(y\)-aksen (trekanten er symmetrisk). Det betyr at:

• Bredde \(= 2x\) (fra \(-x\) til \(x\) langs \(x\)-aksen)
• Høyde \(= y = 6 - x\)

Arealet blir:

Steg 3: Prøv deg fram (som Martin foreslår)

Tabellen viser at \(x = 3\) gir størst areal.

Steg 4: Tegn grafen i GeoGebra

Vi setter inn \(A(x) = 2x(6-x)\) i GeoGebra og ber programmet finne toppunktet:

GeoGebra finner toppunktet \(B = (3, 18)\), det vil si at \(x = 3\) gir maksimalt areal.

Steg 5: Finn koordinatene til P

Når \(x = 3\):

Koordinatene til \(P\) er \((3, 3)\), og det maksimale arealet er \(A(3) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = \underline{\underline{18}}\).

Linjestykker og geometrisk vekst

I denne oppgaven skal du arbeide med linjestykker som settes sammen til en figur.

Skissen nedenfor viser de 16 første linjestykkene i figuren. Lengden av et linjestykke er alltid 90 % av lengden av det forrige linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm langt.

Fasit

a) 569,5 cm
b) 22 linjestykker
c) 0,52 %

Løsningsforslag

a

Lengden reduseres med 10 % per linjestykke og den begynner på 100 cm. Da blir lengden av linjestykke nummer \(n\):

Jeg bruker et regneark til å legge sammen de 8 første linjestykkene.

Lengden av de 8 første linjestykkene er 569,5 cm.

b

n = 1
L = 100
total = L

while total < 900:      # Kjører så lenge totalen er under 900 cm
    L = L * 0.9         # Beregner nytt linjestykke
    total = total + L   # Legger til linjestykke på totallengden
    n = n + 1           # Teller hvor mange linjestykker

print("Etter", n, "linjestykker er lengden", round(total, 2), "cm.")

Output: Etter 22 linjestykker er lengden 901.52 cm.

Du må ha 22 linjestykker for at lengden skal bli minst 9 meter.

c

L = 100
total = L

for n in range(1, 101):
    if n == 50:            # Lagrer totallengden etter 50 figurer
        lengde_50 = total
    if n == 100:           # Lagrer totallengden etter 100 figurer
        lengde_100 = total
    L = L * 0.9            # Beregner nytt linjestykke
    total = total + L      # Legger til linjestykke på totallengden

prosent_endring = (lengde_100 - lengde_50) / (lengde_50) * 100

print(round(prosent_endring, 2))

Output: 0.52

Summen av lengdene øker med 0,52 % dersom vi øker antallet linjestykker fra 50 til 100.

Ellipse og Ramanujans formel

Nedenfor ser du en ellipse med sentrum i \(S\). Linjestykket \(SA = a\) kalles den store halvaksen, og linjestykket \(SB = b\) kalles den lille halvaksen.

Mari har tegnet en ellipse der \(a = 3\) cm og \(b = 2\) cm, ved hjelp av et digitalt verktøy. Hun har funnet at ellipsen har en omkrets på \(15{,}865 \mathrm{~cm}\).

Fasit

a) Mari har regnet riktig.
b) Ja, den gjelder.

Løsningsforslag

a

Vi beregner først \(h\) med \(a=3\) og \(b=2\):

Så regner vi ut omkretsen \(O\) ved hjelp av formelen (jeg bruker CAS i GeoGebra som kalkulator).

Omkretsen er omtrent 15,9 cm. Det er samme svaret som Mari har funnet.

b

En sirkel har omkretsen \(O_{\text{sirkel}}=\pi \cdot d\), der \(d\) er diameteren, eller \(O_{\text{sirkel}}=2 \pi r\) dersom vi bruker radius istedenfor diameter.

I en sirkel vil begge halvaksene være like lange, og begge vil være lik radius i sirkelen, formelen for \(h\) blir derfor:

Vi setter inn \(a=b=r\) og \(h=0\) Ramanujans formel:

Ramanujans formel gjelder for spesialtilfellet der ellipsen er en sirkel.

Racerbil og fartsgraf

Grafen nedenfor viser hvordan farten til en racerbil har variert gjennom en runde av et billøp.

Bilen har kjørt på en av banene nedenfor, og runden har startet ved den røde markeringen.

Fasit

a) B

Løsningsforslag

Vi ser at farten av gått ned 3 ganger i løpet av runden. Det betyr løypa må ha hatt 3 svinger og vi kan utelukke alternativ A og D.

Vi ser videre at det går ganske kort tid før første sving, deretter lengre stykke til sving 2 og en nesten like lang stund til sving 3. Det er kun B, E og F som har kort avstand til første sving, så vi utelukker C.

Farten er lavest i sving 2, mens sving 3 tar lengre tid samtidig som farten ikke er veldig lav. Den eneste formen som passer til denne beskrivelsen er B.

Bilen har kjørt på bane B.