1P-Y IM eksamen V2025

Oversikt over eksamensoppgavene

Del 1 — 1 time — uten hjelpemidler

№	Navn	Temaer	LF
1-1	Enhetspris og sparing på ris	enhetskostnad, prosentregning, økonomi	✔︎
1-2	Kvadratrotformel og mobilading	røtter, formler, algebra	✔︎
1-3	Kennys lån	lån	✔︎
1-4	Rom med skråtak og volum	geometri, volum	×
1-5	Gatekunstner og kvadratiske fliser	areal, proporsjonalitet, måleenheter	×

Del 2 — 3 timer — med hjelpemidler

№	Navn	Temaer	LF
2-1	KI-modeller og strømforbruk	formler, regneark, diagram	×
2-2	Overføringshastighet og digitale data	bits og bytes, store tall, tallregning	×
2-3	Alis lån til bedriften	lån, excel	✔︎
2-4	Energisammenlikning ved og strøm	enhetskostnad, økonomi, formler	✔︎
2-5	Lønnsalternativer ved avissalg	lineær vekst, funksjoner, økonomi, likningssystem	✔︎

Del 1

Oppgave 1-1

Enhetspris og sparing på ris

Sara skal handle ris i butikken. Hun kan velge mellom to ulike typer.

	Kartong med boil-in-bag-ris	Sekk med ris
Vekt	1 kg	4 kg
Pris	32 kroner	80 kroner

I en kartong med boil-in-bag-ris er 1 kg ris fordelt på 8 poser.

Oppgave

Hvor mange gram ris er det i hver pose?

I familien til Sara er de to voksne og to barn. Hver person spiser 5 kg ris hvert år.

Oppgave

Hvor mange kroner sparer familien i løpet av ett år dersom de kjøper sekker med ris i stedet for kartonger med boil-in-bag-ris?

Fasit

a) 125 g
b) 240 kr

Løsningsforslag

a

1 kg = 1000 g. Det er 8 poser i en kartong, så hver pose inneholder

\[\frac{1000 \, \mathrm{g}}{8} = \underline{\underline{125 \, \mathrm{g}}} \]

b

Familien spiser til sammen $4 \cdot 5 = 20 \, \mathrm{kg}$ ris per år.

Kartong med boil-in-bag-ris: $32 \, \mathrm{kr/kg}$

\[20 \cdot 32 = 640 \, \mathrm{kr} \]

Sekk med ris: $80 \, \mathrm{kr}$ for $4 \, \mathrm{kg}$, altså $20 \, \mathrm{kr/kg}$

\[20 \cdot 20 = 400 \, \mathrm{kr} \]

Familien sparer $\underline{\underline{640 - 400 = 240 \, \mathrm{kr}}}$ i løpet av ett år ved å kjøpe sekker med ris.

Oppgave 1-2

Kvadratrotformel og mobilading

Mina har undersøkt hvor lang tid det tar å lade mobiltelefonen.

Hun har funnet ut at når telefonen er helt utladet, kan hun bruke formelen nedenfor til å regne ut omtrent hvor mange prosent $P$ den lades i løpet av $m$ minutter.

\[P = 10 \cdot \sqrt{m} \]

$P$ er hvor mange prosent mobilen lades opp
$m$ er antall minutter med lading

Mina har gjort noen beregninger og satt opp to påstander.

Påstand 1

Ifølge formelen vil det ta 25 minutter å lade mobiltelefonen fra 0 % til 50 %.

Påstand 2

Ifølge formelen vil det ta tre ganger så lang tid å lade mobiltelefonen fra 0 % til 100 % som fra 0 % til 50 %.

Oppgave

Gjør beregninger, og vurder om påstandene til Mina kan være riktige.

Eksempler på regning med kvadratrøtter

$\sqrt{ 9 }= 3$ siden $3 \cdot 3 = 9$
$\sqrt{ 49 }= 7$ siden $7 \cdot 7 = 49$

Fasit

Påstand 1 stemmer. Påstand 2 stemmer ikke.

Løsningsforslag

Påstand 1
Hvis påstand 1 stemmer så må $10 \cdot \sqrt{ 25 }$ bli lik $50$. Vi sjekker.

\[10 \cdot \sqrt{ 25 }=10 \cdot 5 = 50 \]

Påstand 1 stemmer, det tar 25 minutter å lade fra 0 % til 50 %.

Påstand 2
Vi vet at det tar 25 minutter å lade til 50 %. La oss tredoble tiden til 75 minutter og sjekke om dette gir oss 100 % lading.

$10\cdot \sqrt{ 75 }$ er vanskelig å regne ut, men jeg vet at svaret må være mellom $8$ og $9$ siden $8^{2}=64$ og $9^{2}=81$.

\[10 \cdot \sqrt{ 75 } \approx 10 \cdot 8{,}7 =87 \]

Påstand 2 stemmer ikke. Vi får ikke ladet mer enn omtrent 87 % på tre ganger så lang tid som fra 0 til 50 %.

Oppgave 1-3

Kennys lån

Kenny har et kredittlån på 400 000 kroner.

Han må betale renter og termingebyr hver måned. Han betaler ikke avdrag på lånet.
I rammen nedenfor ser du vilkårene for lånet til Kenny.

Kredittlån

Lånebeløp: 400 000 kroner
Rente: 1,5 % per måned
Terminer per år: 12
Termingebyr: 50 kroner
Avdrag: 0 kroner

Oppgave

Hvor mange kroner må jeg betale i renter per måned?
Hva blir kostnaden for lånet per år?

Fasit

a) 6000 kr
b) 72 600 kr

Løsningsforslag

a

Siden vi ikke betaler noe avdrag så blir rentene de samme hver måned.

\[400\,000 \cdot 0{,}015 = \underline{\underline{ 6\,000 \mathrm{~kr} }} \]

b

Det er 12 måneder med 6 000 kr i hver måned. I tillegg betaler vi 50 kr per måned i gebyr.

\[12 \cdot 6\,000 + 12 \cdot 50 = 72\, 000 + 600 = \underline{\underline{ 72\,600 \mathrm{~kr} }} \]

Oppgave 1-4

Rom med skråtak og volum

Arne jobber i et modelleringsverktøy for å lage et rom med skråtak, som skal brukes til et nytt dataspill. Noen av målene til rommet er beskrevet under.

Rommet er $4 \text{ m}$ bredt.
Den ene veggen har en høyde på $2{,}5 \text{ m}$, og den motsatte veggen har en høyde på $4 \text{ m}$.

Skissen under viser rommet sett fra siden:

Skisse av rom med skråtak

Oppgave

Hva er takhøyden midt i rommet?

Gulvet i rommet er et rektangel med bredde $4 \text{ m}$ og lengde $6 \text{ m}$.

Oppgave

Hva blir volumet av hele rommet?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-5

Gatekunstner og kvadratiske fliser

Gatekunstner lager kunstverk av fliser. Kilde: Pixabay

En gatekunstner skal lage et kunstverk som måler $2 \text{ m} \cdot 2 \text{ m}$. Det skal bestå av kvadratiske fliser. Flisene har sidelengde 20 cm.

Gatekunstneren stiller seg noen spørsmål om antallet fliser han må bruke:

Gatekunstneren

Hvor mange fliser må jeg bruke for å lage dette kunstverket?
Hvis jeg skal lage et annet kunstverk med et areal på $1{,}2 \text{ m}^2$, hvor mange fliser må jeg bruke da?

Oppgave

Gjør beregninger og vurderinger, og svar på spørsmålene til gatekunstneren.

Fasit

Løsningsforslag

Del 2

Oppgave 2-1

KI-modeller og strømforbruk

Datasenter-operatøren ByteHome har målt strømforbruket til forskjellige KI-modeller:

KI-modell	Ukentlig strømforbruk (kWh)	Antall timer i drift per uke	Utslipp i Tyskland (kg CO₂ per kWh)	Utslipp i Norge (kg CO₂ per kWh)
Modell A	250	50	0,3	0,02
Modell B	560	70	0,3	0,02
Modell C	120	40	0,3	0,02

Effektbehovet $P$ (målt i kW) til hver KI-modell kan beregnes etter denne formelen:

\[P = \frac{E}{t} \]

$E$ er strømforbruk i kWh
$P$ er effekt i kW
$t$ er antall driftstimer

Oppgave

Finn effektbehovet til hver KI-modell.

ByteHome har to datasentre: ett i Tyskland og ett i Norge. For å nå klimamålene sine må de kjøpe klimakvoter. En klimakvote, som tilsvarer utslipp av ett tonn CO₂, koster 800 kroner.

Oppgave

Hvor stort er CO₂-utslippet per uke for modell C, i både Norge og Tyskland?
Hvor mye vil dette koste i klimakvoter i hvert av landene?

Anta at strømprisen er 2 kr/kWh i Norge og 1,5 kr/kWh i Tyskland.

Oppgave

Bruk regneark for å beregne totalkostnaden for ukentlig strømforbruk og klimakvoter for de tre ulike KI-modellene i hvert av landene.
Presenter resultatet grafisk.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-2

Overføringshastighet og digitale data

Omar undersøker den historiske utviklingen av overføringshastigheten for digitale data. Den har utviklet seg enormt, synes Omar.

Han tar utgangspunkt i romsonden Voyager 2, som ble skutt opp i verdensrommet i 1977. Den kommuniserer fremdeles med oss her på jorda med en overføringshastighet på 160 bit/s.

Voyager 2 har en datamaskin med et minne på $69{,}6 \mathrm{~kB}$.

Husk

\[\text{overføringshastighet} = \frac{\text{datamengde}}{\text{tid}} \]

\[1 \, \mathrm{B} = 8 \, \mathrm{bit} \]

Omars grønne spørsmål

Hvor mange bit er minnet til Voyager 2?
Hvor lang tid vil romsonden bruke på å sende en kopi av hele minnet på $69{,}6 \mathrm{~kB}$ når overføringshastigheten er 160 bit/s?

Omars gule spørsmål

Da internett ble vanlig i private hjem var det ofte ISDN-linjer med en kapasitet på 128 kbit/s som ble valgt.

Hvor mange ISDN-linjer måtte jeg ha hatt for å ha minst like høy nedlastingshastighet som et bredbånd på 100 Mbit/s, som er vanlig i dag?

Omars blå spørsmål

Jeg hører på en sang på Spotify som varer i 3 minutter og 30 sekunder, med en kvalitet på 96 kbit/s.

Hvor mange timer ville det ha tatt å laste ned denne sangen i samme kvalitet dersom overføringshastigheten hadde tilsvart den Voyager 2 kommuniserer med?

Jeg vil høre sangen offline. Hvor høy bredbåndshastighet i Mbit/s trenger jeg for å laste ned denne sangen på ett sekund?

Oppgave

Gjør beregninger og vurderinger, og finn ut mest mulig av det Omar lurer på.

Fasit

Voyager 2 minne: 556 800 bit · Tid å sende: 58 min · 782 ISDN-linjer · Sang med Voyager: 35 timer · Bredbånd for 1 sek: 20,16 Mbit/s

Løsningsforslag

Omars grønne spørsmål

Hvor mange bit er minnet til Voyager 2?

Vi gjør om fra kB til bit. Først fra kB til B, deretter fra B til bit:

\[69{,}6 \, \mathrm{kB} = 69{,}6 \cdot 1000 \, \mathrm{B} = 69\,600 \, \mathrm{B} \]

\[69\,600 \, \mathrm{B} \cdot 8 = \underline{\underline{556\,800 \, \mathrm{bit}}} \]

Hvor lang tid bruker romsonden på å sende hele minnet?

Vi bruker formelen og løser for tid:

\[\text{tid} = \frac{\text{datamengde}}{\text{overføringshastighet}} = \frac{556\,800 \, \mathrm{bit}}{160 \, \mathrm{bit/s}} = 3480 \, \mathrm{s} \]

Vi gjør om til minutter: $3480 \div 60 = \underline{\underline{58 \, \mathrm{min}}}$

Omars gule spørsmål

Hvor mange ISDN-linjer for 100 Mbit/s?

Vi gjør om til samme enhet: $100 \, \mathrm{Mbit/s} = 100\,000 \, \mathrm{kbit/s}$

\[\frac{100\,000 \, \mathrm{kbit/s}}{128 \, \mathrm{kbit/s}} = 781{,}25 \]

Siden vi må ha minst like høy hastighet, runder vi opp. Vi trenger $\underline{\underline{782 \text{ ISDN-linjer}}}$.

Omars blå spørsmål

Hvor lang tid med Voyager-hastighet?

Sangen varer $3 \, \mathrm{min} \, 30 \, \mathrm{s} = 210 \, \mathrm{s}$ med kvalitet $96 \, \mathrm{kbit/s}$.

Størrelsen på sangen:

\[96 \, \mathrm{kbit/s} \cdot 210 \, \mathrm{s} = 20\,160 \, \mathrm{kbit} = 20\,160\,000 \, \mathrm{bit} \]

Tid med Voyager 2 sin hastighet på 160 bit/s:

\[\frac{20\,160\,000}{160} = 126\,000 \, \mathrm{s} = \frac{126\,000}{3600} = \underline{\underline{35 \, \mathrm{timer}}} \]

Bredbåndshastighet for å laste ned på ett sekund?

\[\frac{20\,160\,000 \, \mathrm{bit}}{1 \, \mathrm{s}} = 20\,160\,000 \, \mathrm{bit/s} = \underline{\underline{20{,}16 \, \mathrm{Mbit/s}}} \]

For å laste ned sangen på ett sekund trenger Omar et bredbånd på minst $\underline{\underline{20{,}16 \, \mathrm{Mbit/s}}}$.

Oppgave 2-3

Alis lån til bedriften

Ali eier en bedrift. Han tar opp et serielån på 800 000 kroner i starten av et år.
Lånet skal betales ned i løpet av 5 år med én termin per år. Renten er 6,2 % per år.
Lånet er gebyrfritt.

Ali vil bruke et regneark til å lage en nedbetalingsplan. Nedenfor ser du hva han har laget så langt.

Oppgave

Lag et regneark som vist ovenfor. Lag formler i de grønne cellene slik at utregningene blir riktige. Husk å vise formlene du bruker i regnearket.

For å regne ut summen $S$ av renter du må betale for et serielån, kan du bruke formelen

\[S= \frac{L \cdot n + L}{2} \cdot \frac{r}{100} \]

$S$ er summen av renter
$L$ er lånebeløpet
$n$ er antall terminer
$r$ er renten i prosent (eksempel: Hvis renten er 4 %, blir $r=4$)

Oppgave

Bruk formelen til å finne summen av renter Ali må betale for serielånet sitt.

Fasit

a) –
b) 148 800 kr

Løsningsforslag

a

Et serielån har like store avdrag i hver termin. Avdraget er

\[\frac{800\,000}{5} = 160\,000 \, \mathrm{kr} \]

Rentene beregnes av restlånet ved starten av året. Regnearket under viser nedbetalingsplanen med verdier og formler.

Nedbetalingsplan for Alis serielån

Forklaring av formlene:

Renter = Lån starten av året $\cdot$ renten (f.eks. =B6*$B$2)
Avdrag = Lånebeløpet $\div$ antall terminer (f.eks. =$B$1/$B$3)
Terminbeløp = Renter + Avdrag (f.eks. =C6+D6)
Lån slutten av året = Lån starten av året $-$ Avdrag (f.eks. =B6-D6)
Lån starten av året (fra termin 2) = Lån slutten av forrige år (f.eks. =F6)

b

Vi vet at $L=800\,000$, $n=5$, $r=6{,}2$. Da kan vi regne ut $S$ med:

\[S=\frac{800000 \cdot 5 + 800000}{2} \cdot \frac{6{,}2}{100}=\frac{4\,800\,000}{2} \cdot 0{,}062 = 2\,400\,000 \cdot 0{,}062 = 148 \, 800 \]

Ali betaler 148 800 kr i renter.

Oppgave 2-4

Energisammenlikning ved og strøm

Lars vil kjøpe ved. Han finner tilbudet vist nedenfor.

Sekk med 40 liter ved

Pris	Vekt	Volum	Energi
79 kroner	15 kg	40 L	63 kWh

Oppgave

Hva blir volumet av 1 kg ved?

Lars ser på tilbudet og gjør denne utregningen:

\[\frac{79}{15} = 5{,}27 \]

Oppgave

Forklar hva tallet $5{,}27$ forteller om tilbudet.

Når Lars bruker strøm til elektrisk oppvarming av boligen, går 100 % av energien til oppvarming. Når Lars bruker ved til oppvarming av boligen, går 75 % av energien i veden til oppvarming.

En dag er prisen for elektrisk oppvarming $1{,}50 \mathrm{~kr/kWh}$. Lars lurer på hva slags type oppvarming som blir billigst.

Oppgave

Gjør beregninger, og gi Lars råd om hva han bør velge den dagen.

Fasit

a) 2,67 L
b) Prisen i kroner per kg med ved
c) Strøm er billigst

Løsningsforslag

a

Siden 40 L veier 15 kg så må 1 kg ved ha volumet

\[\frac{40 \mathrm{~L}}{15}=\underline{\underline{ 2{,}67 \mathrm{~L }}} \]

b

Lars har regnet ut

\[\frac{\text{Pris (kr)}}{\text{Vekt (kg)}} = \underline{\underline{ \text{Pris i kroner per kg ved} }} \]

c

Vi må sammenligne prisen per kWh for strøm og ved.

Strøm
Strømmen koster $1{,}50 \mathrm{~kr/kWh}$.

Ved
Vi beregner prisen for hver kWh. Siden det bare er 75 % som går til faktisk oppvarming så multipliserer vi energien i veden med 0,75.

\[\frac{79 \mathrm{~kr}}{63 \mathrm{~kWh} \cdot 0{,}75}=1{,}67 \mathrm{~kr/kWh} \]

Det er rimeligst å velge strøm for å varme opp boligen denne dagen. Det er 0,17 kr/kWh rimeligere enn å fyre med ved.

Oppgave 2-5

Lønnsalternativer ved avissalg

Elise skal gå fra dør til dør og selge aviser hver lørdag. En avis koster 49 kroner.

Firmaet hun skal arbeide for, beregner lønn på ulike måter. Elise kan velge mellom to tilbud.

Tilbud 1

Lønn: 35 % av beløpet hun selger aviser for

Tilbud 2

Fast lønn: 150 kroner per lørdag
Tillegg: 10 kroner per avis hun selger

Elise gjør seg noen tanker og stiller noen spørsmål.

Green-box

Hvor mye tjener jeg hvis jeg velger tilbud 1 og selger 15 aviser en lørdag?

Hvor mye tjener jeg hvis jeg velger tilbud 2 og selger 15 aviser en lørdag?

Blue-box

Jeg tror jeg kan selge flere enn 15 aviser hver lørdag.

Hvordan kan jeg lage en oversikt som viser hvilket tilbud som er best?

Oppgave

Svar på spørsmålene Elise stiller. Gjør beregninger og vurderinger, og gi Elise råd om hvilket tilbud hun bør velge.

Fasit

Tilbud 1 med 15 aviser: 257,25 kr. Tilbud 2 med 15 aviser: 300 kr. Tilbud 1 lønner seg fra og med 21 aviser.

Løsningsforslag

Tilbud 1 gir 35 % av salgsbeløpet. Hver avis koster 49 kr, så lønnen per avis er

\[0{,}35 \cdot 49 = 17{,}15 \, \mathrm{kr} \]

Vi setter opp et uttrykk for lønnen ved $x$ solgte aviser:

\[f(x) = 17{,}15 \cdot x \]

Tilbud 2 gir fast lønn pluss 10 kr per avis:

\[g(x) = 150 + 10 \cdot x \]

Hvor mye tjener Elise med 15 aviser?

Tilbud 1: $f(15) = 17{,}15 \cdot 15 = 257{,}25 \, \mathrm{kr}$
Tilbud 2: $g(15) = 150 + 10 \cdot 15 = 300 \, \mathrm{kr}$

Med 15 aviser er $\underline{\underline{\text{tilbud 2 best}}}$ med $300 \, \mathrm{kr}$ mot $257{,}25 \, \mathrm{kr}$.

Hvilken oversikt kan Elise lage?

Vi tegner begge grafene i GeoGebra og finner skjæringspunktet, se utklippet under.

Grafer for tilbud 1 (grønn) og tilbud 2 (rød)

Fra grafen ser vi at linjene krysser hverandre ved omtrent 21 aviser.

Vi kan også regne ut: $f(x) = g(x)$ når $17{,}15x = 150 + 10x$, altså $7{,}15x = 150$, som gir $x \approx 21$.

Antall aviser	10	15	20	21	25	30
Tilbud 1	171,50	257,25	343,00	360,15	428,75	514,50
Tilbud 2	250	300	350	360	400	450
Best	T2	T2	T2	≈ likt	T1	T1

Råd til Elise: Dersom hun tror hun kan selge 21 aviser eller flere per lørdag, bør hun velge tilbud 1. Selger hun færre enn 21, er tilbud 2 best.