Lønn for Ina på søylediagram

Ina har en deltidsjobb. Forrige uke jobbet hun tre dager. Diagrammet nedenfor viser hvor mye hun tjente.

Timelønnen til Ina er 50 kroner høyere på lørdager enn på de andre dagene. Lørdag forrige uke jobbet hun 5 timer.

Fasit

a) \(\underline{\underline{2200 \, \mathrm{kr}}}\)
b) \(\underline{\underline{13 \text{ timer}}}\)

Løsningsforslag

a

Ina tjente 2200 kroner forrige uke.

b

Lørdag jobbet Ina 5 timer og tjente 1000 kr:

Timelønnen på hverdager er 50 kr lavere:

Antall timer mandag:

Antall timer onsdag:

Totalt antall timer:

Ina jobbet 13 timer til sammen forrige uke.

Lineær nedbetalingsformel for billån

Elvira kjøper en ny bil. Hun tar opp et lån på \(450\;000\) kroner.

Etter \(t\) år er lånet redusert til \(L\) kroner, der

Fasit

a) \(\underline{\underline{250\,000 \, \mathrm{kr}}}\)
b) \(\underline{\underline{9 \text{ år}}}\)

Løsningsforslag

a

Vi setter \(t = 4\) inn i formelen:

Lånet er 250 000 kroner etter 4 år.

b

Når Elvira har betalt tilbake hele lånet, er \(L = 0\). Vi setter opp og løser en likning:

Det tar 9 år før Elvira har betalt tilbake hele lånet.

Kasper og Viktor om merverdiavgift

Kasper og Viktor er lærlinger i en klesbutikk. En dag snakker de om merverdiavgift.

Fasit

Kasper har rett. Mva. er 25 % av prisen uten mva., ikke av totalbeløpet. Når vi deler totalbeløpet på 5, får vi riktig mva.-beløp.

Løsningsforslag

Kasper har rett.

Vi bruker et eksempel: En kunde betaler \(1000 \, \mathrm{kr}\) totalt for en vare (inkludert mva.).

Kaspers metode — del totalbeløpet på 5:

Prisen uten mva.:

Sjekk: \(25 \, \%\) av \(800 \, \mathrm{kr}\):

Kaspers metode stemmer. Mva. på \(200 \, \mathrm{kr}\) pluss pris uten mva. på \(800 \, \mathrm{kr}\) gir \(1000 \, \mathrm{kr}\) totalt.

Viktors metode — del totalbeløpet på 4:

Men da ville prisen uten mva. være \(1000 - 250 = 750 \, \mathrm{kr}\), og \(25 \, \%\) av \(750 \, \mathrm{kr}\) er \(187{,}50 \, \mathrm{kr}\) — ikke \(250 \, \mathrm{kr}\). Viktors metode gir feil svar.

Forklaring: Mva. er \(25 \, \%\) av prisen uten mva., ikke av totalbeløpet. Prisen uten mva. pluss \(25 \, \%\) mva. gir en vekstfaktor på \(1{,}25\), som tilsvarer å dele med \(\frac{5}{4}\) — eller å gange totalbeløpet med \(\frac{1}{5}\), altså dele på 5. Derfor er Kasper sin metode riktig.

Lyssirkel på whiteboard

Leon jobber som lystekniker og skal bruke en lyskaster til å lyssette et whiteboard som er montert på en svart vegg. Han stiller inn lyskasteren slik at midtpunktet til lyset treffer perfekt i det nedre høyre hjørnet av whiteboardet, slik figuren nedenfor viser.

Whiteboardet har et areal på \(10 \mathrm{~m}^2\), og høyden er \(2 \mathrm{~m}\).

Formelen for arealet av en hel sirkel er \(A = \pi \cdot r^2\).
Bruk \(\pi \approx 3\).

Fasit

a) \(\underline{\underline{5 \, \mathrm{m}}}\)
b) \(\underline{\underline{3 \, \mathrm{m}^2}}\)

Løsningsforslag

a

Vi bruker formelen for areal av rektangel:

Bredden på whiteboardet er 5 m.

b

Midtpunktet til lyset treffer det nedre høyre hjørnet av whiteboardet. Det betyr at bare en fjerdedel av sirkelen treffer whiteboardet.

Radiusen i lyskjeglen er lik høyden på whiteboardet: \(r = 2 \, \mathrm{m}\).

Arealet av det lyssatte området på whiteboardet er \(3 \, \mathrm{m}^2\).

Moores lov og iPhone-lagring

Utviklingen av minnestørrelsen i datamaskiner har i stor grad fulgt «Moores lov». Den sier at lagringskapasiteten dobler seg hvert andre år.

Et bilde tatt med en moderne iPhone tar opp omtrent \(4 \mathrm{~MB}\) lagringsplass.

Fasit

a) \(\underline{\underline{32 \, \mathrm{GB}}}\)
b) \(\underline{\underline{2000 \mathrm{~bilder}}}\)

Løsningsforslag

a

Fra 2007 til 2011 er det 4 år. Ifølge Moores lov dobler lagringskapasiteten seg hvert andre år, så i løpet av 4 år skjer det to doblingperioder.

iPhonen som ble lansert i 2011 burde ha hatt 32 GB lagringskapasitet dersom utviklingen hadde fulgt Moores lov.

b

Gjør om lagringskapasiteten fra GB til MB:

Finner antall bilder:

Dersom hele minnet på 8 GB brukes til bilder, er det plass til 2000 bilder.

Racing-rigger til e-sport

En skole skal kjøpe inn fire racing-rigger til e-sport.
En racing-rigg består av en gaming-stol, et ratt-og-pedal-sett og en skjerm.
Skolen har hentet priser fra to leverandører som vist i tabellen nedenfor.

Leverandørene har ulike vilkår for rabatt og frakt.

• TechSpeed gir ikke rabatt og tar \(2000\) kroner i frakt uavhengig av hvor mye man kjøper.
• Gaming AS gir \(5\;\%\) rabatt på totalsummen på utstyret hvis ordren overstiger \(20\;000\) kroner. De tar \(600\) kroner for frakt per rigg.

En annen skole skal bruke inntil \(90\;000\) kroner på å kjøpe racing-rigger.

Fasit

a) Sektordiagram med gaming-stol 19 %, ratt-og-pedal-sett 51 %, skjerm 30 %
b) TechSpeed: 37 080 kr, Gaming AS: 36 486 kr
c) TechSpeed — maks \(\underline{\underline{10 \mathrm{~rigger}}}\) for 89 700 kr

Løsningsforslag

a

Priser fra TechSpeed per rigg:

• Gaming-stol: 1 690 kr
• Ratt-og-pedal-sett: 4 490 kr
• Skjerm: 2 590 kr
• Totalpris per rigg: 8 770 kr

Prosentvis fordeling:

Grafisk framstilling (sektordiagram):

Prosentvis fordeling av kostnader – TechSpeeds tilbud

         Gaming-stol  19 %
  Ratt-og-pedal-sett  51 %
              Skjerm  30 %

b

Verdier:

Formler:

Merk: Gaming AS gir 5 % rabatt fordi 35 880 kr > 20 000 kr. Frakten er 600 kr × 4 rigger = 2 400 kr.

TechSpeed: 37 080 kr. Gaming AS: 36 486 kr.

Gaming AS er billigst for 4 rigger.

c

Vi prøver med ulike antall rigger og varierer antallet til en av leverandørene akkurat overstiger 90 000 kr.

Prøver med 10 rigger:

TechSpeed:

Gaming AS (10 rigger, totalpris før rabatt = 89 700 kr > 20 000 kr, rabatt 5 %):

TechSpeed: 89 700 kr (under 90 000 kr) ✓
Gaming AS: 91 215 kr (over 90 000 kr) ✗

Prøver med 11 rigger:

• TechSpeed: \(11 \cdot 8770 \, \mathrm{kr} + 2000 \, \mathrm{kr} = 98470 \, \mathrm{kr}\) — over 90 000 kr ✗

Skolen bør velge TechSpeed, og kan maksimalt kjøpe \(\underline{\underline{10 \text{~racing-rigger}}}\) for 89 700 kr.

Kryptovaluta - Bitcoin og Ethereum

Kryptovaluta er en betegnelse på «digitale penger». Det finnes ulike typer slik valuta, for eksempel Bitcoin og Ethereum. Verdien av disse endrer seg over tid.

Tenk deg at du investerte \(100\) dollar i Ethereum og \(100\) dollar i Bitcoin i \(2015\).

Man utvinner Bitcoin ved å kjøre dataprogrammer som krever store mengder datakraft og elektrisk energi. Å utvinne én Bitcoin krever omtrent \(824\;000 \mathrm{~kWh}\) (kilowattimer) med strøm. I Norge koster én kilowattime med strøm omtrent \(1{,}20\) kroner. Én dollar koster omtrent \(9{,}50\) kroner.

Fasit

a) Ethereum 2019–2020: \(\underline{\underline{+70{,}2 \,\%}}\) — Bitcoin 2021–2022: \(\underline{\underline{-40{,}6 \,\%}}\)
b) Ethereum: \(\underline{\underline{306\,600 \mathrm{~dollar}}}\) — Bitcoin: \(\underline{\underline{\approx 37\,372 \mathrm{~dollar}}}\)
c) Bitcoin må være verdt mer enn \(\underline{\underline{104\,084 \mathrm{~dollar}}}\)

Løsningsforslag

a

Ethereum fra 2019 til 2020:

Ethereum økte 70,2 % i verdi fra 2019 til 2020.

Bitcoin fra 2021 til 2022:

Bitcoin falt 40,6 % i verdi fra 2021 til 2022.

b

Vi bruker forholdet mellom kurs i 2025 og kurs i 2015 for å finne verdien av investeringen:

Bitcoin:

100 dollar investert i Bitcoin i 2015 ville ha vært verdt ca. 37 372 dollar i 2025.

Ethereum:

100 dollar investert i Ethereum i 2015 ville ha vært verdt 306 600 dollar i 2025.

c

Finner først utvinningskostnaden i kroner:

Gjør om til dollar:

Kursen til Bitcoin må overstige 104 084 dollar for at det skal lønne seg å utvinne Bitcoin i Norge.

Håndtrykksformelen for n personer

Når \(n\) personer møtes og alle håndhilser på hverandre, er antall håndtrykk \(H\) gitt ved formelen

\(20\) personer møtes. Alle håndhilser på hverandre.

Alle deltakerne på en fest håndhilser på hverandre. Det blir til sammen \(300\) håndtrykk.

Fasit

a) \(H = \underline{\underline{190}}\)
b) \(\underline{\underline{25 \text{ deltakere}}}\)

Løsningsforslag

a

Vi setter \(n = 20\) inn i formelen:

Det blir 190 håndtrykk når 20 personer møtes.

b

Vi vet at \(H = 300\) og skal finne \(n\). Vi prøver oss frem med ulike verdier for \(n\).

Fra a) vet vi at \(n = 20\) gir \(H = 190\) håndtrykk — for få. Prøver med \(n = 30\):

Prøver med \(n = 25\):

\(n = 25\) gir nøyaktig 300 håndtrykk.

Det er 25 deltakere på festen.

Elbil Trondheim-Bodø lading og fart

Øzlem skal kjøre elbil fra Trondheim til Bodø.

• Strekningen fra Trondheim til Bodø er \(700 \mathrm{~km}\).
• Bilen bruker omtrent \(20 \mathrm{~kWh}\) per \(100 \mathrm{~km}\).
• Lading koster \(5{,}50\) kroner per \(\mathrm{kWh}\).

Ifølge Google Maps er strekningen fra Trondheim til Bodø \(700 \mathrm{~km}\). Kjøretiden er \(10\) timer og \(16\) minutter.

Fasit

a) \(\underline{\underline{770 \, \mathrm{kr}}}\)
b) \(\underline{\underline{\approx 68 \, \mathrm{km/h}}}\)

Løsningsforslag

a

Bilen bruker \(20 \, \mathrm{kWh}\) per \(100 \, \mathrm{km}\). Vi finner energiforbruk per km:

Totalt energiforbruk for hele strekningen:

Ladekostnaden:

Øzlem må regne med å bruke 770 kroner på å lade bilen.

b

Vi gjør om kjøretiden til desimaltimer. 16 minutter er:

Total kjøretid:

Gjennomsnittsfart:

Gjennomsnittsfarten er omtrent 68 km/h.

Forbrukslån for Sigurd kontra kredittkort

Sigurd tar opp et forbrukslån på \(150\,000\) kroner.

• Type lån: annuitetslån
• Nominell rente: \(13\;\%\) per år
• Nedbetalingstid: \(2\) år, med \(12\) terminer per år
• Termingebyr: \(50\) kroner
• Terminbeløp: \(7181\) kroner

Banken lager en betalingsplan for lånet. Tabellen nedenfor viser planen for de tre første terminene, men avdrag og restlån for termin \(3\) mangler.

Sigurd ser på planen og stiller noen spørsmål.

Fasit

Grønn boks: Totalt \(\underline{\underline{172\,344 \, \mathrm{kr}}}\)
Gul boks: Avdrag \(\underline{\underline{5\,625{,}94 \, \mathrm{kr}}}\), restlån \(\underline{\underline{133\,302{,}41 \, \mathrm{kr}}}\)
Blå boks: Nei, kredittkortet hadde blitt dyrere (effektiv årsrente ca. 22,4 %)

Løsningsforslag

Grønn boks — totalt betalt til banken

Sigurd betaler i \(2 \text{ år} \cdot 12 \text{ terminer} = 24\) terminer. Hvert terminbeløp er \(7\,181 \, \mathrm{kr}\):

Sigurd betaler totalt 172 344 kroner til banken.

Gul boks — avdrag og restlån for termin 3

Avdraget er terminbeløpet minus renter og termingebyr:

Restlånet er restlånet etter termin 2 minus avdraget i termin 3:

Avdraget i termin 3 er 5 625,94 kr, og restlånet etter termin 3 er 133 302,41 kr.

Blå boks — er kredittkortet billigere?

Vi sammenligner månedlig rente på kredittkortet med forbrukslånet.

Kredittkortet har \(1{,}7 \, \%\) månedlig rente. Vi finner effektiv årsrente:

Forbrukslånet har \(13 \, \%\) nominell årsrente — langt lavere enn \(22{,}4 \, \%\).

Vi kan også sammenligne direkte for termin 1:

• Renter med kredittkort: \(150\,000 \, \mathrm{kr} \cdot 0{,}017 = 2\,550 \, \mathrm{kr}\)
• Renter med forbrukslån: \(1\,625 \, \mathrm{kr}\) (pluss \(50 \, \mathrm{kr}\) termingebyr = \(1\,675 \, \mathrm{kr}\))

Kredittkortet gir \(2\,550 \, \mathrm{kr}\) i renter første termin, mot \(1\,675 \, \mathrm{kr}\) for forbrukslånet.

Det ville ikke blitt billigere å låne pengene med kredittkort. Forbrukslånet er billigere.