Skriv inn søketeksten i boksen over

Select a result to preview

Vis løsningsforslag Last ned oppgaver (PDF) Last ned løsningsforslag (PDF)

1T eksamen H2021

Oversikt over eksamensoppgavene

Del 1 — 1 time — uten hjelpemidler

№ Navn Poeng LF
1-1 Parallell linje gjennom gitt punkt 2 ×
1-2 AC i rettvinklet trekant med cos A og sin C 2 ×
1-3 Tredjegradslikning ved gjetting og polynomdivisjon 3 ×
1-4 Vis at likningssystem ikke har løsning 2 ×
1-5 Skisser den deriverte til tredjegradsfunksjon 3 ×

Del 2 — 4 timer — med hjelpemidler

№ Navn Poeng LF
2-1 Skisalg med tredjegradsmodell 4 ×
2-2 Dyrebestand lineær og eksponentiell modell 8 ×
2-3 Likningssystem uten løsning bestem s 2 ×
2-4 Monica og Sissel aldersoppgave 3 ×
2-5 Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a 6 ×
2-6 Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB 5 ×
2-7 Stabling av erteboksbokser i to mønstre 8 ×
2-8 Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant 12 ×

Del 1

Oppgave 1-1 (2 poeng)

Parallell linje gjennom gitt punkt

Likningen for en linje \(l\) er gitt ved \(y=-2x+9\).
En annen linje \(m\) er parallell med linjen \(l\) og går gjennom punktet \((5,-6)\).

Oppgave

Bestem likningen for linjen \(m\).

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-2 (2 poeng)

AC i rettvinklet trekant med cos A og sin C

Om en rettvinklet trekant \(ABC\) får du vite at

  • \(\cos\angle A=\dfrac{1}{2}\)
  • \(\sin\angle C=\dfrac{1}{2}\)
  • \(AB=4\)
Oppgave

Bestem \(AC\).

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-3 (3 poeng)

Tredjegradslikning ved gjetting og polynomdivisjon

Oppgave

Løs likningen

\[x^3+2x^2-7x+4=0 \]

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-4 (2 poeng)

Vis at likningssystem ikke har løsning

Oppgave

Vis at likningssystemet ikke har løsning.

\[\begin{cases}x^2+2x-y=-1\\x+y=-2\end{cases} \]

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-5 (3 poeng)

Skisser den deriverte til tredjegradsfunksjon

Tredjegradsfunksjon med bunnpunkt , toppunkt og tangent i

Ovenfor ser du grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\). Grafen har bunnpunkt \((-2,-11)\) og toppunkt \((4,25)\). Likningen for tangenten til grafen i punktet \((1,7)\) er \(y=9x-2\).

Oppgave

Skisser grafen til den deriverte funksjonen, \(f'\).

Fasit

Løsningsforslag

Del 2

Oppgave 2-1 (4 poeng)

Skisalg med tredjegradsmodell

En nettbutikk vil starte salg av en ny type ski 1. november 2022.

Anta at funksjonen \(S\) gitt ved

\[S(x)=0{,}75x^3-59{,}5x^2+1200x,\quad x\in[0,52] \]

kan brukes som en modell for hvor mange par ski \(S(x)\) butikken vil kunne selge per uke \(x\) etter salgsstart.

Oppgave
  1. Hvor mange uker vil butikken kunne selge mer enn 5 000 par ski, ifølge modellen?
  2. Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen \(S\) når \(x=30\).

    Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-2 (8 poeng)

Dyrebestand lineær og eksponentiell modell

En dyrebestand består i dag av 500 dyr. En forsker antar at bestanden vil doble seg i løpet av de ti neste årene.

Oppgave
  1. Sett opp en modell \(L(x)\) som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om \(x\) år, dersom vi antar at bestanden øker lineært.
  2. Sett opp en modell \(E(x)\) som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om \(x\) år, dersom vi antar at bestanden øker eksponentielt.
  3. Tegn grafen til funksjonen \(F\) gitt ved
    \[F(x)=L(x)-E(x),\quad 0\le x\le 13 \]

    d) Bestem toppunktet på grafen til \(F\) og skjæringspunktene mellom grafen til \(F\) og hver av de rette linjene \(x=12\) og \(y=12\).

    Gi en praktisk tolkning av svarene du får.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-3 (2 poeng)

Likningssystem uten løsning bestem s

Oppgave

\[\begin{cases}4x+2y=3\\s\cdot x+y=2\end{cases} \]

Hvilken verdi må \(s\) ha for at likningssystemet ikke skal ha løsning?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-4 (3 poeng)

Monica og Sissel aldersoppgave

I dag er Monica 72 år yngre enn Sissel.
Om fem år vil Sissel være fire ganger så gammel som Monica.

Oppgave

Hvor mange år er Monica og Sissel i dag?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-5 (6 poeng)

Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a

Firkant med vinkler , , og sider ,

Gitt firkanten \(ABCD\).

Oppgave
  1. Vis at \(BD=\sqrt{3}\cdot a\).
  2. Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.
  3. Bestem \(a\) slik at arealet av firkanten blir lik \(\sqrt{3}\).

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-6 (5 poeng)

Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB

Grafen til og tangenten i

Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen \(f\) gitt ved \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) og tangenten til grafen i punktet \((s,f(s))\).

Oppgave
  1. Vis at likningen for tangenten er
    \[y=-\dfrac{1}{s^2}\cdot x+\dfrac{2}{s} \]

Tangenten skjærer koordinataksene i punktene \(A\) og \(B\).

Oppgave
  1. Bestem koordinatene til \(A\) og \(B\) uttrykt ved \(s\).
  2. Bestem arealet av \(\triangle=OAB\).

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-7 (8 poeng)

Stabling av erteboksbokser i to mønstre

Figur 1 og figur 2 viser to ulike stablingsmønstre

Marius og Maria arbeider i en dagligvarebutikk. De skal stable bokser med erter.

Marius stabler boksene som vist i figur 1. I figur 1 har han laget et tårn med fire etasjer.

Oppgave
  1. Hvor mange bokser trenger Marius for å lage et tårn med 20 etasjer dersom han stabler boksene på denne måten?

Marius har 400 bokser.

Oppgave
  1. Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet han kan lage?

Maria vil stable boksene som vist i figur 2. I figur 2 har hun laget et tårn med tre etasjer.

Oppgave
  1. Hvor mange bokser trenger Maria for å lage et tårn med 20 etasjer dersom hun stabler boksene på denne måten?

Maria har 4 000 bokser.

Oppgave
  1. Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet hun kan lage?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-8 (12 poeng)

Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant

Klassen til Andreas og Markus arbeider med oppgaven nedenfor.

Oppgave

Et rektangel er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant \(ABC\) som på figuren.

Hypotenusen \(AB\) i trekanten \(ABC\) har lengde \(2a\).

Undersøk hvor stort areal rektangelet kan få.

Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant med hypotenus

Andreas og Markus diskuterer hvordan de skal komme i gang og vurderer ulike strategier.

Andreas og Markus

Skal vi først sette \(a=2\) og tegne trekanten?
Vinkel \(A\) og vinkel \(B\) er jo \(45\degree\), så det klarer vi.
Kan vi bruke datamaskinen til dette?

Ja, og så tegner vi ulike rektangler som er innskrevet i trekanten og finner arealene av disse.

Etterpå kan vi tegne trekanten når \(a=3\).

Vi må være litt systematiske. Her er en tabell vi kan bruke som utgangspunkt. Kanskje vi ser et mønster, en sammenheng mellom verdien av \(a\) og det største arealet rektangelet kan få?

Lengde rektangel 1 2 3 4 5 6 7
Areal rektangel når \(a=2\)
Areal rektangel når \(a=3\)
Areal rektangel når \(a=4\)
Andreas og Markus

Etterpå må vi prøve å bevise at sammenhengen vi kommer fram til, gjelder generelt, altså for alle verdier av \(a\).

Trine og Nora sier de har funnet ut at den rette linja gjennom \(B\) og \(C\) er gitt ved \(y=-x+a\). Kan det stemme?

Arealet av rektangelet er jo lengde \(\cdot\) bredde. Vil det da bli \(2x\cdot y\)?

Oppgave

Ta utgangspunkt i og kommenter det Andreas og Markus har funnet ut og løs oppgaven klassen har fått.

Fasit

Løsningsforslag