Prisindeks og brødpris

Tabellen nedenfor viser prisindeksen for brød i perioden 2015–2021.

Prisen for ett bestemt brød steg fra 40 kroner i 2017 til 42 kroner i 2019.

Fasit

a) \(13{,}3 \,\%\)
b) Brødprisen steg med \(5 \,\%\), mens prisindeksen steg med ca. \(4{,}5 \,\%\). Brødet steg mer enn prisindeksen.

Løsningsforslag

a

Prisindeksen for brød var \(100{,}0\) i 2015 og \(113{,}3\) i 2021. Basisåret er 2015, så prisindeksen viser direkte hvor mange prosent prisen har steget.

Prisen for brød steg med \(\underline{\underline{13{,}3 \,\%}}\) fra 2015 til 2021.

b

Vi regner ut den prosentvise prisøkningen for brødet:

Prisen for dette brødet steg med \(5 \,\%\) fra 2017 til 2019.

Vi regner ut den prosentvise økningen i prisindeksen i samme periode:

Prisindeksen for brød steg med ca. \(4{,}5 \,\%\) fra 2017 til 2019.

Prisen for dette brødet steg med \(\underline{\underline{5 \,\%}}\), noe som er mer enn prisindeksen som steg med ca. \(4{,}5 \,\%\).

Likebeinte og formlike trekanter

Du får vite følgende om \(\triangle ABC\) og \(\triangle DEF\):

• \(\triangle ABC\) er likebeint
• \(\triangle DEF\) er formlik med \(\triangle ABC\)
• Arealet av \(\triangle DEF\) er fire ganger så stort som arealet av \(\triangle ABC\)

Fasit

Løsningsforslag

Hvis arealet av \(\triangle DEF\) skal være 4 ganger så stort så kan for eksempel både grunnlinjen og høyden være dobbelt så lange. Vi kan vise dette matematisk.

En enkel type likebeint trekant er rettvinklet med to like lange kateter. Da er det enkelt å lage trekantene formlike også. Se skissen under.

Nominell lønn og reallønn

Truls og Thea diskuterer økonomi.

Fasit

Se løsningsforslag.

Løsningsforslag

Nominell lønn er det beløpet du faktisk får utbetalt – altså det tallet som står på lønnsslippen. Når Truls sier at lønnen hans har økt med \(16 \,\%\), snakker han trolig om den nominelle lønnen.

Reallønn er et mål på hva lønnen din faktisk er verdt – altså hvor mye varer og tjenester du kan kjøpe for lønnen din. Reallønnen tar hensyn til at prisene også endrer seg over tid.

Hvis prisene har steget mye i den samme perioden, kan det hende at Truls ikke kan kjøpe mer enn før, selv om han tjener mer. For eksempel:

• Hvis prisene har steget med \(16 \,\%\) i samme periode, har reallønnen hans ikke endret seg i det hele tatt. Da kan han kjøpe akkurat like mye som før.
• Hvis prisene har steget med mer enn \(16 \,\%\), har reallønnen hans faktisk gått ned. Da kan han kjøpe mindre enn før.
• Hvis prisene har steget med mindre enn \(16 \,\%\), har reallønnen økt. Da kan han kjøpe mer enn før.

Truls må altså sjekke hvor mye prisene har steget (prisveksten/inflasjonen) i den samme perioden for å vite om han virkelig har fått bedre råd.

Likninger og ulikheter fra grafer

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner \(f\), \(g\) og \(h\).

Husk å argumentere for at løsningene dine er riktige.

Fasit

a) –
b) –

Løsningsforslag

a

Jeg prøver først å kjenne igjen funksjonsuttrykkene og matche dem med grafene.

• Jeg vet at rette linjer har funksjonsuttrykk \(y=ax+b\). Den grønne linja passer med \(f(x)\) siden stigningstallet er positivt.
• Den blå linja passer med \(h(x)\) siden stigningstallet er negativt.
• \(g(x)\) er en andregradsfunksjon.

For å få to løsninger så kan vi for eksempel sette opp likningen \(f(x)=g(x)\). Denne har løsninger ved \(x\)-verdiene der grafene skjærer hverandre.

\(\underline{\underline{ f(x)=g(x) }}\) har to løsninger: \(\underline{\underline{ x=1 }}\) og \(\underline{\underline{ x=4 }}\).

b

Vi ser at \(f\) ligger over \(g\) i hele intervallet mellom \(x=1\) og \(x=4\). Dermed kan vi sette opp ulikheten \(f(x)>g(x)\).

\(\underline{\underline{ f(x)>g(x) }}\) har løsningen \(\underline{\underline{ x \in \left< 1,4 \right> }}\).

Pris på T-skjorte og bukse

Fasit

En T-skjorte koster \(149 \, \mathrm{kr}\) og en bukse koster \(599 \, \mathrm{kr}\).

Løsningsforslag

Vi kaller prisen for en T-skjorte \(x\) og prisen for en bukse \(y\). Fra bildet kan vi sette opp to likninger:

Vi tegner de to linjene i GeoGebra og finner skjæringspunktet.

Fra GeoGebra leser vi av skjæringspunktet Skjaering \(= (149, \, 599)\).

En T-skjorte koster \(\underline{\underline{149 \, \mathrm{kr}}}\) og en bukse koster \(\underline{\underline{599 \, \mathrm{kr}}}\).

Kaffekoppers gjennomsnitt med ukjent

En morgen spør Tore 12 kolleger om hvor mange kopper kaffe de drakk dagen før. Resultatene ser du nedenfor. Dessverre har Tore sølt kaffe på arket sitt, men han antar at gjennomsnittet er mer enn fire.

Gjør beregninger og kommenter antakelsen til Tore.

Fasit

Tores antakelse stemmer hvis tallet er 3 eller mer.

Løsningsforslag

Summen av de 11 kjente verdiene er

For at gjennomsnittet skal være nøyaktig 4 med 12 verdier, må totalsummen være \(4 \cdot 12 = 48\). Dersom det skjulte tallet var 2 så ville gjennomsnittet blitt nøyaktig 4.

Det betyr også at dersom det skjulte tallet er 3 eller mer, så ville gjennomsnittet vært over 4. For eksempel ville tallet 3 gitt en sum på 49 og gjennomsnitt \(\frac{49}{12}=4{,}08\).

Tores antakelse stemmer dersom det skjulte tallet er 3 eller mer.

Prisvekst og prisfall sammenligning

Malin og Gunnvor arbeider med en oppgave. De har fått opplysningene nedenfor.

• I mai kostet to varer, A og B, like mye.
• Prisen for vare A har økt med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å øke med 7 % hver måned framover.
• Prisen for vare B har gått ned med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å gå ned med 7 % hver måned framover.

Malin påstår at dette betyr at vare A vil koste det samme om tre måneder som vare B kostet for tre måneder siden. Gunnvor er ikke enig.

Gjør beregninger og undersøk om Malins påstand er riktig.

Fasit

Malins påstand er feil. Vare A i august: \(P \cdot 1{,}07^3 \approx 1{,}225P\), vare B i februar: \(P / 0{,}93^3 \approx 1{,}243P\).

Løsningsforslag

La prisen for begge varer i mai være \(P\).

Vare A i august (tre måneder etter mai):

Vare B i februar (tre måneder før mai): vi går tre måneder bakover fra mai. Siden B synker med 7 % per måned, betyr å gå bakover i tid at vi deler på \(0{,}93\) per måned:

Vi sammenligner:

Disse er ikke like: \(1{,}225 \neq 1{,}243\).

Malins påstand er \(\underline{\underline{\text{ikke riktig}}}\). Vare A vil koste ca. 22,5 % mer enn maipris i august, mens vare B kostet ca. 24,3 % mer enn maipris i februar – de er ikke like.

Sykkelhjelm og datapresentasjon

Hver morgen venter Madelen noen minutter på skolebussen. En uke undersøkte hun hvor mange syklister som brukte sykkelhjelm. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.

Madelen skal fortelle klassen sin om resultatene fra undersøkelsen.

Gjør beregninger og vis Madelen hvordan hun kan presentere datamaterialet. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.

Fasit

Totalt 41 av 63 brukte hjelm (65,1 %). Daglig: man 70 %, tir 60 %, ons 54,5 %, tor 58,3 %, fre 80 %.

Løsningsforslag

Vi beregner andelen syklister med hjelm for hver ukedag og totalt:

Totalt brukte 41 av 63 syklister hjelm, noe som tilsvarer ca. 65 %.

Andelen er høyest på fredag (80 %) og lavest på onsdag (54,5 %).

Mulige diagramtyper for presentasjonen:

• Et søylediagram der x-aksen viser ukedag og y-aksen viser andelen med hjelm (i prosent) sammenligner de ulike dagene godt.
• Et sektordiagram (kakediagram) kan vise andelen med og uten hjelm totalt for hele uken (65 % med hjelm, 35 % uten).

Lønnsnivå og sentralmål

En bedrift vil gi ut en brosjyre som blant annet skal vise lønnsnivået til de ansatte. Nedenfor ser du en oversikt som viser årslønnen til de ansatte i bedriften.

Ledelsen diskuterer hvilket sentralmål som er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.

Fasit

a) Gjennomsnitt \(\approx 575\,000 \, \mathrm{kr}\), median \(\approx 479\,000 \, \mathrm{kr}\)
b) Medianen er mest egnet (gjennomsnittet trekkes opp av noen svært høye lønninger).

Løsningsforslag

a

Vi regner med at alle i hvert intervall tjener midtpunktet i intervallet (midtpunktmetoden).

Gjennomsnittslønnen er omtrent \(\underline{\underline{575\,000 \, \mathrm{kr}}}\).

Medianen er den midterste verdien. Med 146 ansatte er medianen mellom den 73. og 74. verdien. Kumulativ telling:

• Etter \(\langle 250 - 350 \rangle\): 8 ansatte totalt
• Etter \(\langle 350 - 450 \rangle\): 50 ansatte totalt
• Etter \(\langle 450 - 500 \rangle\): 90 ansatte totalt ← her ligger den 73. og 74. verdien

Vi interpolerer i intervallet \(\langle 450, 500 \rangle\):

Medianlønnen er omtrent \(\underline{\underline{479\,000 \, \mathrm{kr}}}\).

b

Bedriften har 15 ansatte med årslønn mellom 1 000 000 og 2 000 000 kr. Disse trekker gjennomsnittet kraftig opp, til 575 000 kr, mens de fleste ansatte tjener i området 350 000–500 000 kr.

Medianen på 479 000 kr påvirkes ikke av de høye lønningene, og gir et mer representativt bilde av hva en typisk ansatt tjener.

Medianen er det mest egnede sentralmålet for å beskrive bedriftens lønnsnivå.

Parkeringsplass og prosentendring

En parkeringsplass har form som et rektangel. Parkeringsplassen skal endres. Bredden skal minskes med en gitt prosentandel, og lengden skal økes med den samme prosentandelen.

Avgjør hvilken av de tre påstandene nedenfor som er riktig. Husk å argumentere for hvorfor du mener påstanden er riktig.

Fasit

Påstand 1 er riktig: Arealet vil alltid bli mindre.

Løsningsforslag

Vi kaller bredden \(b\) og lengden \(l\). Det opprinnelige arealet er

Bredden minskes med \(p \,\%\) og lengden økes med \(p \,\%\). Da blir den nye bredden \(b \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)\) og den nye lengden \(l \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\).

Det nye arealet blir

Vi bruker tredje kvadratsetning \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\):

Siden \(\left(\frac{p}{100}\right)^2\) alltid er et positivt tall (så lenge \(p \neq 0\)), vil faktoren \(\left(1 - \left(\frac{p}{100}\right)^2\right)\) alltid være mindre enn \(1\).

Vi kan sjekke med noen eksempler:

Påstand 1 er riktig: \(\underline{\underline{\text{Arealet av den nye parkeringsplassen vil alltid bli mindre.}}}\)

Sofies lån og nedbetalingsprogram

Sofie har tatt opp et forbrukslån på 100 000 kroner. Rentefoten er 2 % per måned. Hun skal betale ned på lånet hver måned, og terminbeløpet skal være 6378 kroner.

Sofie vil ha en nedbetalingsplan for lånet og har laget programmet nedenfor.

123456789101112131415161718192021# Definerer variabler
restlån = 100000
terminbeløp = 6378
rentefot = 2

# Overskrifter
print("Måned        Terminbeløp    Renter         Avdrag         Restlån")

for måned in range(1, 5):

    renter = 0
    avdrag = 0
    restlån = 0

    # Skriver ut i fem kolonner ved å bruke tabulatorer sep = "\t\t"
    # Runder av beløpene til to desimaler ved å bruke round
    print(måned,
        round(terminbeløp, 2),
        round(renter, 2),
        round(avdrag, 2),
        round(restlån, 2), sep = "\t\t")

Nedenfor ser du resultatet hun får når hun kjører programmet.

Fasit

a) Se løsningsforslag for rettet program.
b) \(20\) måneder

Løsningsforslag

a

Problemet med Sofies program er at linje 12, 13 og 14 setter renter, avdrag og restlån til 0 i stedet for å beregne dem. Vi må også endre løkken slik at den kjører til lånet er nedbetalt.

De tre linjene skal erstattes med:

• Linje 12: renter = restlån * rentefot / 100
• Linje 13: avdrag = terminbeløp - renter
• Linje 14: restlån = restlån - avdrag

I tillegg endrer vi løkken fra for måned in range(1, 5) til en while-løkke som kjører så lenge restlånet er positivt. Det rettede programmet blir:

1234567891011121314151617181920212223# Definerer variabler
restlån = 100000
terminbeløp = 6378
rentefot = 2

# Overskrifter
print("Måned        Terminbeløp    Renter         Avdrag         Restlån")

måned = 0
while restlån > 0:
    måned = måned + 1

    renter = restlån * rentefot / 100
    avdrag = terminbeløp - renter
    restlån = restlån - avdrag

    # Skriver ut i fem kolonner ved å bruke tabulatorer sep = "\t\t"
    # Runder av beløpene til to desimaler ved å bruke round
    print(måned,
        round(terminbeløp, 2),
        round(renter, 2),
        round(avdrag, 2),
        round(restlån, 2), sep = "\t\t")

b

Når vi kjører det rettede programmet, får vi denne nedbetalingsplanen:

Det tar \(\underline{\underline{20 \text{ måneder}}}\) før lånet er betalt ned.