Likninger og ulikheter fra grafer
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner \(f\), \(g\) og \(h\).
\[f(x) = x + 1
\]
\[g(x) = x^2 - 4x + 5
\]
\[h(x) = -x + 5
\]
Oppgave
- Bruk en eller flere av funksjonene til å lage en likning som har to løsninger. Bruk den grafiske framstillingen til å løse likningen.
- Bruk en eller flere av funksjonene til å lage en ulikhet som bare har positive løsninger. Bruk den grafiske framstillingen til å løse ulikheten.
Husk å argumentere for at løsningene dine er riktige.
Fasit
a) –
b) –
Løsningsforslag
a
Jeg prøver først å kjenne igjen funksjonsuttrykkene og matche dem med grafene.
- Jeg vet at rette linjer har funksjonsuttrykk \(y=ax+b\). Den grønne linja passer med \(f(x)\) siden stigningstallet er positivt.
- Den blå linja passer med \(h(x)\) siden stigningstallet er negativt.
- \(g(x)\) er en andregradsfunksjon.
For å få to løsninger så kan vi for eksempel sette opp likningen \(f(x)=g(x)\). Denne har løsninger ved \(x\)-verdiene der grafene skjærer hverandre.
\(\underline{\underline{ f(x)=g(x) }}\) har to løsninger: \(\underline{\underline{ x=1 }}\) og \(\underline{\underline{ x=4 }}\).
b
Vi ser at \(f\) ligger over \(g\) i hele intervallet mellom \(x=1\) og \(x=4\). Dermed kan vi sette opp ulikheten \(f(x)>g(x)\).
\(\underline{\underline{ f(x)>g(x) }}\) har løsningen \(\underline{\underline{ x \in \left< 1,4 \right> }}\).