Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk
Funksjonen \(f\) er gitt ved
Løs ulikheten \(f(x) < 0\) og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.
\(x \in \langle -\infty, -6 \rangle \cup \langle -2, 1 \rangle\)
Vi skal løse \(f(x) < 0\) der \(f(x) = x^3 + 7x^2 + 4x - 12\).
Første steg er å finne nullpunktene til \(f\).
Gjett et heltallsnullpunkt. Nullpunktene må være delere av konstantleddet \(-12\), altså blant \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\). Vi prøver \(x = 1\):
Så \((x - 1)\) er en faktor.
Polynomdivisjon:
Vi kontrollerer: \((x-1)(x^2 + 8x + 12) = x^3 + 8x^2 + 12x - x^2 - 8x - 12 = x^3 + 7x^2 + 4x - 12\) ✓
Faktoriser andregradsuttrykket \(x^2 + 8x + 12\):
Dette gir \(x = -2\) og \(x = -6\).
Dermed kan vi skrive:
Nullpunktene er \(x = -6\), \(x = -2\) og \(x = 1\).
Fortegnsanalyse. Siden ledende koeffisient er positiv (\(+1\) foran \(x^3\)), er \(f(x) \to -\infty\) for \(x \to -\infty\) og \(f(x) \to +\infty\) for \(x \to +\infty\). Fortegnet skifter ved hvert nullpunkt:
| Intervall | \(f(x)\) |
|---|---|
| \(x < -6\) | \(-\) |
| \(-6 < x < -2\) | \(+\) |
| \(-2 < x < 1\) | \(-\) |
| \(x > 1\) | \(+\) |
Grafisk illustrasjon:
Kurven starter nedenfra (negativ), krysser \(x\)-aksen i \(x = -6\), går opp (positiv), krysser i \(x = -2\), går ned (negativ), og krysser til slutt i \(x = 1\) og fortsetter oppover. De røde skyggede områdene viser der \(f(x) < 0\).
Løsningen er der \(f(x) < 0\):