Logaritmeligningen med substitusjon
Oppgave
Løs likningen.
\[(\ln x)^2 - \ln x = 6 \]
Fasit
\(\underline{\underline{x = e^3}}\) eller \(\underline{\underline{x = e^{-2}}}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
Vi setter \(u = \ln x\) og skriver om likningen:
\[u^2 - u = 6 \]
\[u^2 - u - 6 = 0 \]
Vi faktoriserer andregradsuttrykket:
\[(u - 3)(u + 2) = 0 \]
\[u = 3 \quad \text{eller} \quad u = -2 \]
Tilbakesubstitusjon:
\(\ln x = 3 \Rightarrow x = e^3\)
\(\ln x = -2 \Rightarrow x = e^{-2}\)
Begge løsningene er gyldige siden \(e^3 > 0\) og \(e^{-2} > 0\) (logaritmen er definert for positive tall).
\(\underline{\underline{x = e^3}}\) eller \(\underline{\underline{x = e^{-2}}}\)