Logaritmeligninger
Oppgave
- Løs likningen
\[(\lg x)^2 - 2\lg x = 8 \]
b) Bestem \(a\) slik at
\[\log_a \frac{1}{64} = -3 \]
Fasit
a) \(x = 10000\) eller \(x = 0{,}01\)
b) \(a = 4\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi setter \(u = \lg x\) og løser den kvadratiske likningen:
\[u^2 - 2u - 8 = 0 \implies (u-4)(u+2) = 0 \]
Så \(u = 4\) eller \(u = -2\), det vil si
\[\lg x = 4 \implies x = 10^4 = 10000 \qquad \text{eller} \qquad \lg x = -2 \implies x = 10^{-2} = 0{,}01 \]
\(\underline{\underline{x = 10000}}\) eller \(\underline{\underline{x = 0{,}01}}\)
b
Likningen \(\log_a \dfrac{1}{64} = -3\) betyr \(a^{-3} = \dfrac{1}{64}\), altså \(a^3 = 64\).
\(\underline{\underline{a = 4}}\)
Sensorveiledning · 3 poeng
a) (2 poeng) 1 poeng for å finne verdiene til \(\lg x\) og 1 poeng for å finne verdiene til \(x\). Kandidatene må finne begge løsningene for å få full uttelling.
b) (1 poeng) Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.