Stykkevis funksjon med parameter k
Funksjonen \(f\) er gitt ved
der \(k \in \mathbb{R}\).
- Forklar at \(f\) er en kontinuerlig funksjon for alle verdier av \(k\).
- Bestem \(k\) slik at \(f\) blir deriverbar i \(x = k\).
- For hvilke verdier av \(k\) har \(f\) en omvendt funksjon?
a) \(f\) er kontinuerlig for alle \(k \in \mathbb{R}\).
b) \(\underline{\underline{k = 0}}\)
c) \(\underline{\underline{k \in [-2,\, 2]}}\)
a
Hvert av uttrykkene \(-x^2 + (2+k)x\) og \(x^2 + (2-k)x\) er polynomer, og polynomer er kontinuerlige overalt. Det eneste stedet vi må sjekke kontinuitet spesielt er i bruddpunktet \(x = k\).
\(f\) er kontinuerlig i \(x = k\) hvis og bare hvis
Vi beregner grenseverdiene:
Alle tre er lik \(2k\) for alle verdier av \(k\). Dermed er \(f\) kontinuerlig i \(x = k\) for alle \(k \in \mathbb{R}\), og siden hvert deluttrykk er et polynom, er \(f\) kontinuerlig for alle \(k\).
b
For at \(f\) skal være deriverbar i \(x = k\) må venstre- og høyrederiverte være like.
Vi deriverer hvert deluttrykk:
Vi setter venstre- og høyrederiverte like (se linje 10 i CAS-utklippet):
c
\(f\) har en omvendt funksjon hvis og bare hvis \(f\) er strengt monoton (enten strengt voksende eller strengt avtagende) på hele \(\mathbb{R}\).
Strengt avtagende er ikke mulig: \(f_1(x) = -x^2 + (2+k)x\) er en nedovervendt parabel med toppunkt i \(x = \frac{2+k}{2}\). For \(x < k\) og \(k < \frac{2+k}{2}\) (dvs. \(k < 2\)) er \(f_1\) voksende i deler av \((-\infty, k)\), og for \(k \geq 2\) er toppunktet utenfor \((-\infty, k)\), men da er \(f_2\) oppovervendt og voksende på \([k, \infty)\). En strengt avtagende \(f\) er dermed ikke mulig for noe \(k\).
Strengt voksende krever to ting:
-
\(f_1\) må være voksende på hele \((-\infty, k)\): \(f_1\) er voksende til venstre for toppunktet \(x = \frac{2+k}{2}\), så vi trenger
\[\frac{2+k}{2} \geq k \implies 2 + k \geq 2k \implies k \leq 2 \] -
\(f_2\) må være voksende på hele \([k, \infty)\): \(f_2\) er en oppovervendt parabel med bunnpunkt i \(x = \frac{k-2}{2}\), og er voksende til høyre for bunnpunktet, så vi trenger
\[\frac{k-2}{2} \leq k \implies k - 2 \leq 2k \implies k \geq -2 \]
Kontinuiteten i \(x=k\) er allerede sikret (vist i a), så det er tilstrekkelig at begge delene er voksende.
\(f\) har omvendt funksjon for \(\underline{\underline{k \in [-2,\, 2]}}\).