Lag funksjonsuttrykk til grafen av rasjonal funksjon

En mulighet er \(f(x)=\frac{3x-6}{x-1}, \quad D_{f} = \mathbb{R} \setminus \{ 1 \}\)

Jeg ser at vi skal lage en rasjonal funksjon på formen \(f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\).

Det er en vertikal asymptote og bruddpunkt ved \(x=1\), det betyr at uttrykket i nevneren vår må ha nullpunkt i \(x=1 \implies Q(1)=0\).

Det er en horisontal asymptote ved \(y=3\). Det betyr at \(\lim_{ x \to \pm \infty } \frac{P(x)}{Q(x)}=3\). For at det skal være mulig må polynomene i teller og nevner ha samme grad. Dette ligner på en rasjonal funksjon med førstegradsuttrykk i teller og nevner der koeffisienten foran \(x\) i telleren er 3 ganger så stor som koeffisienten foran \(x\) i nevneren.

Jeg lar \(Q(x)=x-1\) siden dette er et førstegradsuttrykk som vil gi riktig bruddpunkt.

Vi har nå tre krav til \(P(x)\):

• \(P(x)\) skal ha samme grad som \(Q\implies P\) må være førstegradsuttrykk \(ax+b\)
• \(P(x)\) skal ha 3 ganger så stor koeffisient som \(Q(x)\implies P(x)=3x+b\)
• \(f(x)\) har et nullpunkt i \(x=2\implies P\) skal ha nullpunkt i \(x=2\implies P(2)=0\)

For å oppfylle det siste kravet må \(P\) være på formen \(P(x)=3x+b\), der \(b\) må være slik at \(P(2)=0\).

Et funksjonsuttrykk som passer til grafen er

Kommentar: Jeg tolker oppgaveteksten som at vi skal finne én funksjon \(f(x)\) som passer til grafen. Generelt vil alle uttrykk på formen \(\frac{3cx-6c}{cx-c}\) der \(\left( c\in \mathbb{R} \right)\wedge\left( x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ 1 \right\} \right)\) passe til grafen, så det kan godt være at dette generelle uttrykket er et bedre svar på oppgaven.