Oppgaven er hentet fra eksamen S2 H23 del 1 oppgave 3.

Grensekostnader og enhetskostnader fra graf

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en kostnadsfunksjon \(K\) sammen med tre rette linjer.

De tre rette linjene er grafene til funksjonene \(f\), \(g\), \(h\) der

\[\begin{aligned} f(x)&=31x+2030\\ g(x)&=60x\\ h(x)&=81{,}75x \end{aligned} \]

To av linjene tangerer grafen til \(K\). Vi kaller tangeringspunktene \(A\) og \(B\).

Kostnadsfunksjonen

Oppgave

Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 40 enheter.
Forklar at grensekostnaden ved produksjon av 40 enheter er 31 kroner.
Bestem den minste enhetskostnaden.

Fasit

a) 81,75 kr
b) Se løsningsforslag. Hint: den deriverte til en funksjon i et punkt er lik stigningstallet til tangenten i punktet.
c) 60 kr

Løsningsforslag

a

Enhetskostnadene er gitt ved

\[E(x)=\frac{K(x)}{x} \]

Jeg ser at punktet linja \(f(x)=31x+2030\) tangerer \(K\) ved \(x=40\). Dermed har vi

\[K(40)=f(40)=31\cdot 40 + 2030=1240+2030=3270 \]

Ved å sette inn i uttrykket for enhetskostnadene får vi

\[E(40)=\frac{K(40)}{40}=\frac{3270}{40}=81{,}75 \]

Enhetskostnadene ved produksjon av 40 enheter er 81,75 kr.

Dette stemmer perfekt med uttrykket for \(h(x)\), og da vet vi også at den grønne linja i figuren faktisk skjærer grafen nøyaktig i \(x=40\).

b

Siden \(A\) er et tangeringspunkt på grafen til \(K\), og \(A\) ligger på \(x=40\), så vil stigningstallet til tangenten i \(A\) være det samme som den deriverte til \(K\) i punktet \(A\). Grensekostnadene er definert som den deriverte av kostnadsfunksjonen.

Tangenten til \(K\) ved \(x=40\) har funksjonsuttrykk \(f(x)=31x+2030\), dermed er både stigningstallet, den deriverte og grensekostnadene lik 31 kroner.

c

Vi har lavest grensekostnader når \(E'(x)=0\), og dette betyr

\[\begin{aligned} E'(x)&=0 \\ \left( \frac{K(x)}{x} \right)'&=0 \\ \frac{K'(x)\cdot x-K(x)}{x^{2}}&=0 \\ K'(x) \cdot x &= K(x) \end{aligned} \]

Den nederste linja forteller oss at vi finner den laveste enhetskostnaden når den lineære funksjonen \(y=K'(x)\cdot x\) skjærer \(K(x)\). Enklere sagt vil det si at vi har lavest enhetskostnad når tangenten til \(K\) går gjennom origo. Jeg ser fra grafen at dette gjelder den blå linja og punktet \(B\).

Hvis vi fortsetter likningsløsningen litt til får vi:

\[\begin{aligned} K'(x) \cdot x &= K(x)\\ K'(x) &= \frac{K(x)}{x}\\ K'(x) &= E(x) \end{aligned} \]

De laveste enhetskostnadene er altså \(K'(x)\), eller stigningstallet til tangenten i punktet \(B\). Tangenten i \(B\) har funksjonsuttrykk \(g(x)=60x\).

De laveste enhetskostnadene er 60 kr per enhet.

Sensorveiledning · 6 poeng

a) (2 poeng) Kandidater som bruker formel for enhetskostnad og regner ut fra grafen og får et omtrentlig svar, kan få 1 poeng.
b) (2 poeng) For å få full uttelling må kandidaten begrunne at grensekostnad er stigningstall til tangentlinjen og så begrunne hvilken av de tre funksjonene som gir denne tangentlinjen. Dersom det er noe riktig i argumentasjonen, kan det gis 1 poeng.
c) (2 poeng) Kandidater som bruker stigningstallet til grafen til funksjonen \(g\) uten forklaring får ingen uttelling. Rett strategi, men feil svar, kan gi 1 poeng.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Grenseinntekt og grensekostnad

Oppgave	Fag	År	Oppg
Etterspørsel og grensekostnad vare	S2	V19	2-3
Grensekostnad og grenseinntekt bedrift	S2	H21	1-4
Grensekostnad og enhetskostnad bedrift	S2	V22	1-5
Kostnad per enhet og størst overskudd	S2	H22	1-6
Grensekostnader fra graf v23	S2	V23	1-2
Argumenter for hvorfor sette grensekostnad lik grenseinntekt	S2	E22	1-6
Grensekostnad og programmering	S1	H23	1-5
Modell for etterspørsel av vare	S2	H23	2-1
Vis at enhetskostnad er like grensekostnad ved laveste enhetskostnad	S2	V24	1-5
Grensekostnad og enhetskostnad del 1	S2	H24	1-5
Enhetskostnader og grensekostnader fra graf v25	S2	V25	1-5
Grenseinntekt og grensekostnad på del 2	S2	V25	2-1
Grensekostnader, enhetskostnader og overskudd	S2	H25	2-2

Enhetskostnad

Oppgave	Fag	År	Oppg
Kostnadsfunksjon og tangent	S2	V20	1-6
Enhetskostnad og prisreduksjon	S2	V21	2-1
Grensekostnad og enhetskostnad bedrift	S2	V22	1-5
Sammenligne priser på hundemat	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V23	1-2
Enhetskostnader fra graf	S2	H14	1-5
Edison biler – overskudd og enhetskostnad	S1	V24	2-1
Vis at enhetskostnad er like grensekostnad ved laveste enhetskostnad	S2	V24	1-5
Kledning til vegg og tilbud	1P-Y BA	H24	1-4
Grensekostnad og enhetskostnad del 1	S2	H24	1-5
Enhetskostnader og grensekostnader fra graf v25	S2	V25	1-5
Fiskebåt og fangst til Norge eller Danmark	1P-Y NA	V25	2-1
Kokkene Jonas og Ina og kyllingtilbud	1P-Y RM	V25	1-5
Pris per kvadratmeter terrassebord	1P	V25	2-5
Grensekostnader, enhetskostnader og overskudd	S2	H25	2-2
Energisammenlikning ved og strøm	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V25	2-4
Enhetspris og sparing på ris	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V25	1-1
Prosentvis prisreduksjon bagetter	2P-Y, 2P	V24	1-2
Plantejord fra to butikker	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y TP, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR	H24	1-1
Kostnads- og inntektsfunksjoner - graftolkning S2 V26	S2	V26	1-6

Tolke grafer

Oppgave	Fag	År	Oppg
Omvendt funksjon fra grafer	R1	V23	2-4
Aurora går til postkontoret	1P	V23	2-2
Potetsekker i koordinatsystem	1P	V23	2-4
Grensekostnader fra graf v23	S2	V23	1-2
Enhetskostnader fra graf	S2	H14	1-5
Lag funksjonsuttrykk til grafen av rasjonal funksjon	1T	V23	1-4
Matpriser og meieriprodukter	1P-Y RM	H23	1-4
Ola og Mari dreier akslinger	1P-Y TP	H23	1-4
Ole sin høyde og vekstdiagram	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	H23	1-2
Racerbil og fartsgraf	1P	H23	2-8
Rasjonale funksjoner og grafvalg	1T	H23	1-5
Prisvekst matvarer og Emils påstander	1P-Y RM	V24	1-5
Bestem grunntall i logaritmefunksjon	S1, R1	H24	2-3
Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert	S1, R1	H24	1-6
Figurer som viser normalfordeling	S2	H24	1-4
Enhetskostnader og grensekostnader fra graf v25	S2	V25	1-5
Noras bøtte med godteri	1P	V25	1-8
Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf	1P	V24	1-3
Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf	2P-Y	H24	1-3
Proporsjonalitet fra grafer 2P-Y H25	2P-Y	H25	1-5
Finn riktig graf for normalfordelingene	S2	H25	1-5
Annuitetslån eller serielån	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	H25	1-2
Blomsterdekorasjoner og fortjeneste	1P-Y FD, 1P-Y DT	H25	1-5
Grafer og fire situasjoner	1P	H25	2-2
Lønn og timelønn fra grafer	1P	H25	1-5
Hytteleie omvendt proporsjonal funksjon	2P-Y	V24	2-1
Funksjonsuttrykk fra trigonometrisk graf R2 V26	R2	V26	1-4
Kostnads- og inntektsfunksjoner - graftolkning S2 V26	S2	V26	1-6
Lønn for Ina på søylediagram	1P-Y BA, 1P-Y DT, 1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V26	1-1
Matkast og prosent av matvarekjøp	1P-Y HS, 1P-Y RM	V26	1-5
Vipebestand med eksponentielle modeller 1T V26	1P, 1T	V26	2-3
Kumulativ frekvenskurve for aldersfordeling 2P-Y V26	2P-Y, 2P	V26	1-13
Vekstfart fra graf S1 V26	S1	V26	1-6
Tolkning av integral og areal fra graf Tolkning av integral og areal fra graf	S2, R2	H25	1-3

Derivasjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Derivasjon av tre typer funksjoner	S2	V19	1-1
Tredjegradsfunksjon med transformasjon	S2	V19	1-6
Derivasjon av funksjoner	S2	H19	1-1
Inntektsfunksjon med eksponential	S2	H19	2-2
Polynomdivisjon og funksjonsdrøfting	S2	H19	1-5
Enkel derivasjon	S2	V20	1-1
Kostnadsfunksjon og tangent	S2	V20	1-6
Overskuddsfunksjon og prisfunksjon	S2	V20	2-3
Tredjegradsfunksjon og vannstand	S2	V20	1-5
Derivasjon av sammensatte funksjoner	S2	H20	1-1
Enhetskostnad og grensekostnad	S2	H20	1-6
Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter	S2	H20	1-8
Tredjegradsfunksjon med vendetangent	S2	H20	1-5
Derivasjon med logaritme og eksponential	S2	V21	1-1
Logaritmefunksjon med drøfting	S2	V21	1-6
Derivasjon med eksponential og logaritme	S2	H21	1-1
Logaritmefunksjon ln x delt på x	S2	H21	1-5
Skisalg med tredjegradsmodell	1T	H21	2-1
Skisser den deriverte til tredjegradsfunksjon	1T	H21	1-5
Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant	1T	H21	2-8
Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB	1T	H21	2-6
Andregradsfunksjon fra tangentstigninger	1T	V22	2-5
Derivasjon av tre funksjoner	S2	V22	1-1
Tredjegradsfunksjon med nullpunkter og vendetangent	S2	V22	1-2
Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter	1T	V22	2-6
Vanntank som tappes ut	1T, 1P	V22	2-1
Andregradsfunksjon fra to tangentlikninger	1T	H22	1-4
Bakterievekst i avfall	S2	H22	2-1
Deriver eksponential- og logaritmefunksjon	S2	H22	1-1
Funksjonsdrøfting med eksponentialfaktor	S2	H22	1-7
Hagebasseng som kjøles ned	1T, 1P	H22	2-1
Største areal i rektangel med omkrets 64	1T, 1P	H22	2-6
Avgjør påstander om funksjoner	R1	V23	2-3
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Derivasjon av eksponential og logaritme	R1	V23	1-1
Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon	2P-Y	V23	2-7
Optimering av rektangelareal og program	R1	V23	1-4
Banefart til 3D-printer	R2	V23	2-3
Tangens, derivert og integral	R2	V23	1-2
Gjennomsnittstemperatur på Svalbard og den deriverte	1T	V23	2-1
Grensekostnader fra graf v23	S2	V23	1-2
Skisser grafen ut fra den deriverte v23	1T	V23	1-5
Deriver logaritmefunksjon	S1	V23	1-2
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Grenseverdi når x går mot 2	S1, R1	V23	1-3
Cauchys middelverdisetning	R1	H23	2-6
Ishockeypuck med vektorfunksjon	R1	H23	2-5
Kasse uten lokk	S1, R1	H23	2-5
Konsentrasjon i kjemisk reaksjon	R1	H23	2-1
Påstander om tredjegradsfunksjon	S1, R1	H23	2-6
Stykkevis funksjon med parameter k	R1	H23	2-2
Deriver x ln(x)	R1	H23	1-1
Tolk og fiks program som finner bunnpunkt	R1	H23	1-4
Avstand mellom to funksjoner	1T	H23	2-5
Folketall i et område	1T	H23	2-1
Rektangel under graf	1T	H23	2-7
Tangent til tredjegradsfunksjon	1T	H23	1-3
Tidevann og trigonometrisk modell	R2	H23	2-1
Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter	1T	H23	2-6
Modell for etterspørsel av vare	S2	H23	2-1
Modellering av bagettsalg	1T, 1P	V24	2-1
Tangent fra derivertgraf	1T	V24	2-6
Derivasjon med produktregel og ln	S1, R1	V24	1-1
Edison biler – overskudd og enhetskostnad	S1	V24	2-1
Influensaepidemi og logistisk vekst	R1	V24	2-1
Innskrevet rektangel og Lars sitt program	S1, R1	V24	2-7
Pyramide i halvkule – størst mulig volum	S1, R1	V24	2-8
Påstander om logaritme, derivasjon og invers	R1	V24	2-2
To biler på kryss og motorvei	R1	V24	2-3
Sensor for utelys og trigonometri	R2	V24	2-3
Logistisk vekst for et produkt	S2	V24	2-1
Derivasjon av eksponentialfunksjon	S1, R1	H24	1-1
Fiskepopulasjon og logistisk modell	R1	H24	2-3
Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert	S1, R1	H24	1-6
Optimalisering av parkeringsinntekt	S1	H24	2-5
Overskuddsoptimalisering for båtmotorer	S1	H24	2-6
Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl	R1	H24	2-6
Påstander om grenseverdi og deriverbarhet	R1	H24	2-2
Vannreservoar med eksponentiell funksjon	R1	H24	2-1
Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart	1T	H24	2-1
Ball i bevegelse med posisjonsvektor	R2	H24	2-1
Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	R2	H24	2-4
Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent	1T	H24	2-5
Grensekostnad og enhetskostnad del 1	S2	H24	1-5
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Bil på spiralvei i parkeringshus	R2	V25	2-1
Harens fart og gjennomsnittsfart	R2	V25	2-3
Grenseinntekt og grensekostnad på del 2	S2	V25	2-1
Logistisk salg av brannvarslingssystemer	S2	V25	2-3
Derivasjon av eksponential og potensfunksjon	S1, R1	V25	1-1
Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd	S1	V25	2-2
Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis	R1	V25	1-5
Logistisk vekstmodell batteriteknologi	R1	V25	2-1
Nullpunkter og ekstremalpunkter for g	S1	V25	1-2
Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt	R1	V25	1-2
Omvendt funksjon og tangentlikninger	R1	V25	2-2
Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk	R1	V25	2-3
T-skjorter, inntekt og overskudd	S1	V25	2-5
Tangent til ln og trekantareal	R1	V25	2-5
Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim	R2	H25	2-1
Derivasjon og graffortolkning	R1	H25	1-1
Derivasjon og tolkning av stigningstall	S1	H25	1-1
Eksponentiell modell for befolkningsvekst	S1	H25	2-1
Funksjonsdrøfting og halveringsmetode	R1	H25	1-5
Grafer og dobbeltderivert	R1	H25	2-6
Kostnad, pris og overskudd	S1	H25	2-4
Logistisk vekstmodell	R1	H25	2-1
Stykkevis funksjon og deriverbarhet	R1	H25	2-2
Topp- og bunnpunkter med ln	S1	H25	1-5
Grensekostnader, enhetskostnader og overskudd	S2	H25	2-2
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1
Størst mulig rektangel under kurve	1T	H25	2-5
Tangent til parabel og lagerhall	1T	H25	2-6
Vekt og lengde potensfunksjon	1T	H25	2-1
Bakteriekulturer - eksponentialvekst S2 V26	S2	V26	2-1
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1
Propellfly med vektorfunksjon R2 V26	R2	V26	2-3
Derivert av andregradsfunksjon fra tangent 1T V26	1T	V26	1-9
Derivasjon av polynom og brøk R1 V26	R1	V26	1-1
Derivasjon med brøk og kjerneregel S1 V26	S1	V26	1-1
Derivert av omvendt funksjon til ln R1 V26	R1	V26	1-6
Logistisk modell for raketthastighet R1 V26	R1	V26	2-1
Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26	R1, S1	V26	2-3
Potensregresjon for volum og radius S1 V26	S1	V26	2-1
Python-kode for stasjonære punkter R1 V26	R1	V26	1-9
Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26	R1	V26	2-5
Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26	R1, S1	V26	1-2
Vekstfart fra graf S1 V26	S1	V26	1-6

Argumentasjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Begrunn at x i andre er større enn x i tredje	1P	E21	2-4
Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant	1T	H21	2-8
Vis at likningssystem ikke har løsning	1T	H21	1-4
Rettvinklet trekant med tan B og tre tester	1T	V22	1-3
Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter	1T	V22	2-6
Areal av tomt og reguleringsplan	1P	H22	1-2
Cosinussetning med to løsninger	1T	H22	2-4
Største areal i rektangel med omkrets 64	1T, 1P	H22	2-6
Brødpris og prosentvis vekst	2P-Y	V23	1-1
Likebeinte og formlike trekanter	2P	V23	1-2
Likninger og ulikheter fra grafer	2P	V23	1-4
Lønnsnivå og sentralmål	2P-Y, 2P	V23	2-5
Parkeringsplass og prosentendring	2P	V23	2-6
Prisindeks og brødpris	2P	V23	1-1
Prisvekst og prisfall sammenligning	2P-Y, 2P	V23	2-3
Prosentvis prisforskjell sjokolade	1P, 1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V23	1-1
Argumenter for hvorfor sette grensekostnad lik grenseinntekt	S2	E22	1-6
Cauchys middelverdisetning	R1	H23	2-6
Påstander om tredjegradsfunksjon	S1, R1	H23	2-6
Likesidet trekant og cos 60°	1T	H23	1-1
Sosiale medier og prosentpoeng	1P	H23	1-2
To trekanter og størst areal	1T	H23	1-4
Knut og Sabrina tallfølge	1P	V24	2-5
Lukket kurve med tre funksjoner	1T	V24	2-7
Summer av oddetall og programmering	1T	V24	2-4
Logaritme- og binomialpåstander	S1	V24	2-2
Påstander om logaritme, derivasjon og invers	R1	V24	2-2
Vurder påstander om funksjoner	S1	H24	2-2
Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen	1T	H24	1-4
Programmer fakultet og forklar nuller i 100!	1T	H24	2-4
Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser	1P	H24	1-3
Rasjonal funksjon fra asymptoter og nullpunkt	1T	H24	2-3
Verifiser dobbeltvinkelformel med 30-60-90-trekant	1T	H24	1-1
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Miljøvennlig transport og ferie	1P-Y SR	H24	1-5
Minstelønn for kokker og påstander	1P-Y RM	H24	1-5
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Påstand om områder avgrenset av grafer	S2	H24	2-3b
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Median og gjennomsnitt fra klassedelt alder	2P-Y, 2P	V25	1-7
Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf	1P	V24	1-3
Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf	2P-Y	H24	1-3
Argumenter for at prosentregnestykker gir samme svar	2P-Y, 2P	H24	2-3
Proporsjonale størrelser i kiosk	2P-Y	V24	1-1
Proporsjonalitet og vase med roser	2P-Y	H23	2-5
Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26	R2	V26	1-8
Garasjegulv areal og Pytagoras	1P-Y BA	V26	1-4
Håndtrykksformelen for n personer	1P-Y BA, 1P-Y DT, 1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V26	2-3
Kasper og Viktor om merverdiavgift	1P-Y BA, 1P-Y DT, 1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V26	1-3
Matkast og prosent av matvarekjøp	1P-Y HS, 1P-Y RM	V26	1-5
Proporsjonalitet i formel for lufttetthet 1P V26	1P	V26	1-12
Prosent opp og prosent ned 1P V26	1P	V26	1-6
Rasjonale funksjoner med asymptoter 1T V26	1T	V26	1-8
Seriekobling med to motstander	1P-Y EL	V26	1-5
Transformator og effekttrekant	1P-Y EL	V26	2-1
Parallelle vektorer i trekant OAB R1 V26	R1	V26	1-8
Pris ned og opp med 20 prosent 2P-Y V26	2P-Y, 2P	V26	1-4
Påstander om asymptote og arbeidsgrupper S1 V26	S1	V26	1-5
Påstander om asymptote og omvendt funksjon R1 V26	R1	V26	1-5
Stykkevis funksjon for strømstønad R1 V26	R1	V26	2-4