Tolkning av integral og areal fra graf Tolkning av integral og areal fra graf
Nedenfor ser du grafen til funksjonen \(f\) gitt ved \(f(x)=x^3+x^2-2 x\).
- Hvilket av uttrykkene nedenfor gir arealet av det markerte området på figuren? Husk å begrunne svaret ditt.
:::
-
\[\int_{-2}^1 f(x) \mathrm{~d} x \]
-
\[\int_{-2}^1 f(x) \mathrm{~d} x-\int_0^1 f(x) \mathrm{~d} x \]
-
\[\int_{-2}^0 f(x) \mathrm{~d} x+\int_0^1 f(x) \mathrm{~d} x \]
-
\[\int_{-2}^0 f(x) \mathrm{~d} x-\int_0^1 f(x) \mathrm{~d} x \]
:::
- Regn ut arealet av det markerte området på figuren.
Kristian ønsker å finne en verdi \(a<0\), som er slik at \(\int_a^1 f(x) d x=0\).
Han bruker en kalkulator og finner at \(a \approx -0{,}6\).
Unni påstår at likningen til Kristian har to løsninger.
- Forklar hvorfor påstanden til Unni er riktig, og bruk figuren til å anslå omtrent hvilken verdi den andre løsningen kan ha.
a) 4
b) \(\frac{37}{12}\)
c) Mellom -3 og -2,5.
a
Områder som ligger over \(x\)-aksen vil ha identisk areal og integral. Områder som ligger under \(x\)-aksen vil ha motsatt fortegn på integralet og arealet.
Vi deler derfor opp integrasjonen vår i to deler, en for området over \(x\)-aksen (fra \(x=-2\) til \(x=0\)), og en annen del for området under \(x\)-aksen (fra \(x=0\) til \(x=1\)).
Området fra \(x=-2\) til \(x=0\) ligger over \(x\)-aksen, arealet og integralet er identiske. Området fra \(x=0\) til \(x=1\) ligger under \(x\)-aksen, så arealet og integralet vil ha motsatt fortegn. For å beregne det samlede arealet må vi derfor endre fortegnet til integralet fra \(x=0\) til \(x=1\), altså
Uttrykk 4 gir arealet markert på figuren.
b
Jeg finner først det ubestemte integralet
Arealet er gitt ved
Arealet er \(\underline{\underline{\frac{37}{12}}}\).
c
Likningen til Kristian er sann når vi velger \(a\) slik at vi får nøyaktig like store områder på oversiden og undersiden av \(x\)-aksen.
Fra figuren kan vi se at Kristians beregning ser riktig ut, området som er avgrenset av \(x\)-aksen og \(f(x)\) fra \(x=-0{,}6\) til \(x=1\) ser ut til å ha omtrent like mye areal over og under \(x\)-aksen.
Hvis vi tar \(\int_{-2}^{1} f(x) \, dx\) så må svaret bli positivt siden det er mer areal på oversiden av \(x\)-aksen.
Vi ser videre at \(f(x)\) er negativ for \(x<-2\), altså må det være mulig å velge en verdi for \(a\) som er mindre enn \(-2\) slik at \(\int_{a}^{1} f(x) \, dx=0\).
- Hvis vi velger \(a=-2{,}5\) så ser det ut til at vi har litt mer areal over \(x\)-aksen enn under.
- Hvis vi velger \(a=-3\) så ser det ut til at vi har litt mer areal under \(x\)-aksen enn over.
Likningen til Kristian krever like mye areal på oversiden og undersiden av \(x\)-aksen. Unni har rett i at det finnes to løsninger på likningen, der den andre løsningen ligger i intervallet \(\langle -3, -2{,}5\rangle\).