Grafens lengde med polylinje
For en deriverbar funksjon \(f\) kan vi finne en tilnærmet verdi for lengden av grafen mellom to \(x\)-verdier ved å bruke en polylinje, slik figuren nedenfor illustrerer.
Dersom vi skal finne lengden av grafen i et intervall \([a,b]\), kan vi dele dette intervallet i \(N\) like store delintervall \([x_i, x_{i+1}]\) med bredde \(h = \dfrac{b-a}{N}\) og \(x_i = a + i \cdot h\).
Vi regner da ut lengdene av linjestykkene som går mellom punktene \((x_i, f(x_i))\) og \((x_{i+1}, f(x_{i+1}))\). Summen av disse lengdene vil da være en tilnærmet verdi for lengden av grafen fra \(x = a\) til \(x = b\).
- Forklar at lengden av linjestykket som går fra punktet \((x_i, f(x_i))\) til punktet \((x_{i+1}, f(x_{i+1}))\), er gitt ved
Funksjonen \(g\) er gitt ved
- Regn ut en god tilnærmet verdi for lengden av grafen til \(g\) ved å bruke framgangsmåten beskrevet ovenfor. Vurder om svaret er rimelig.
a) Se løsningsforslag.
b) \(\underline{\underline{L \approx 3{,}1416}}\) (konvergerer mot \(\pi\))
a
Vi ser på linjestykket fra \((x_i,\, f(x_i))\) til \((x_{i+1},\, f(x_{i+1}))\).
Den horisontale komponenten er
og den vertikale komponenten er
Disse to komponentene utgjør katetene i en rettvinklet trekant der linjestykket er hypotenusen. Pythagoras' setning gir da
b
Vi deler \([-1, 1]\) i \(N = 1000\) like store delintervall og summerer lengdene \(S_i\):
import math
a, b, N = -1, 1, 1000
h = (b - a) / N
L = 0
for i in range(N):
xi = a + i * h
xj = a + (i + 1) * h
ki = math.sqrt(max(1 - xj**2, 0)) - math.sqrt(max(1 - xi**2, 0))
L += math.sqrt(h**2 + ki**2)
print(L) # ≈ 3,1416
Programmet gir \(L \approx 3{,}1416\).
Rimelighetsvurdering: Funksjonen \(g(x) = \sqrt{1 - x^2}\) er den øvre halvdelen av enhetssirkelen (radius \(r = 1\)). Den eksakte buelengden er halve omkretsen av enhetssirkelen:
Tilnærmingen \(3{,}1416\) stemmer godt med \(\pi\), noe som bekrefter at svaret er rimelig.