Volum av pære med omdreiningslegeme
Bildet nedenfor viser halve snittflaten til en pære som er skåret over på midten. Bildet er satt inn i et koordinatsystem. Enheten langs begge aksene er centimeter.
Bruk informasjonen i bildet til å bestemme det omtrentlige volumet av pæra.
\(\underline{\underline{V \approx 310 \, \mathrm{cm}^3}}\)
Vi skal bestemme det omtrentlige volumet av pæra ved å modellere konturen med en funksjon og beregne volumet av omdreiningslegemet rundt \(x\)-aksen.
Steg 1 – Les av datapunkter fra bildet
Vi leser av omtrentlige koordinater langs den øvre kanten av pærekonturen (halvt snitt) fra koordinatsystemet i bildet. Enheten er centimeter:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) | \(12\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(1{,}0\) | \(2{,}1\) | \(3{,}0\) | \(3{,}6\) | \(3{,}9\) | \(3{,}9\) | \(3{,}7\) | \(3{,}4\) | \(2{,}9\) | \(2{,}2\) | \(1{,}4\) | \(0{,}7\) | \(0{,}0\) |
Pæra strekker seg fra \(x = 0\) til \(x \approx 12 \, \mathrm{cm}\), med maksimal bredde \(y \approx 3{,}9 \, \mathrm{cm}\) ved \(x \approx 4{-}5 \, \mathrm{cm}\).
Steg 2 – Finn regresjonspolynom i GeoGebra
Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker polynomregresjon av grad 4 (Polynomregresjon(L, 4) der L er listen av punkter). Dette gir funksjonen \(f\) som modellerer halve pærekonturen:
Kurven passer godt til de avleste punktene.
Steg 3 – Beregn volumet med CAS
Volumet av omdreiningslegemet som dannes når grafen til \(f\) roteres rundt \(x\)-aksen er gitt ved:
Vi beregner integralet i GeoGebra CAS:
GeoGebra gir \(V \approx 309{,}55 \, \mathrm{cm}^3\).
Svar: Det omtrentlige volumet av pæra er \(\underline{\underline{V \approx 310 \, \mathrm{cm}^3}}\).