Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
Vi setter opp vektorene fra \(A\):
\[\vec{AB} = (5, 0, 0), \quad \vec{AC} = (4, 2, 0), \quad \vec{AT} = (0, 0, 5) \]
a
Volumet av en tetraeder (pyramide med tre kanter fra samme hjørne) er
\[V = \frac{1}{6} \left| \vec{AB} \cdot \left( \vec{AC} \times \vec{AT} \right) \right| \]
Vi beregner først kryssproduktert \(\vec{AC} \times \vec{AT}\):
\[\vec{AC} \times \vec{AT} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} = (2 \cdot 5 - 0 \cdot 0,\ 0 \cdot 0 - 4 \cdot 5,\ 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = (10, -20, 0) \]
Deretter skalarproduktet:
\[\vec{AB} \cdot (10, -20, 0) = 5 \cdot 10 + 0 \cdot (-20) + 0 \cdot 0 = 50 \]
Volumet blir:
\[V = \frac{1}{6} \cdot |50| = \frac{50}{6} = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{25}{3}}}} \]
b
Vi setter opp vektorene fra \(B\):
\[\vec{BC} = C - B = (4-5,\ 2-0,\ 0-0) = (-1, 2, 0) \]
\[\vec{BT} = T - B = (0-5,\ 0-0,\ 5-0) = (-5, 0, 5) \]
Kryssprodukt:
\[\vec{BC} \times \vec{BT} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -5 & 0 & 5 \end{vmatrix} = (2 \cdot 5 - 0 \cdot 0,\ 0 \cdot (-5) - (-1) \cdot 5,\ (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-5)) = (10, 5, 10) \]
Lengden:
\[|\vec{BC} \times \vec{BT}| = \sqrt{10^2 + 5^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 25 + 100} = \sqrt{225} = 15 \]
Arealet av \(\triangle BCT\) er halvparten av dette:
\[A = \frac{1}{2} \cdot 15 = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{15}{2}}}} \]
c
Vi bruker sammenhengen mellom volumet, grunnflaten og høyden i en pyramide:
\[V = \frac{1}{3} \cdot A \cdot h \]
Her er \(A = \dfrac{15}{2}\) arealet av grunnflaten \(\triangle BCT\) og \(h\) er avstanden fra \(A\) til dette planet. Vi løser for \(h\):
\[\frac{25}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{2} \cdot h \]
\[h = \frac{25/3}{1/3 \cdot 15/2} = \frac{25/3}{15/6} = \frac{25}{3} \cdot \frac{6}{15} = \frac{25 \cdot 6}{3 \cdot 15} = \frac{150}{45} = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{10}{3}}}} \]
