Vektorer og basketball
Jelena, Nils og Ahmad spiller basketball. Tenk deg at vi legger et koordinatsystem over banen. Ved et tidspunkt befinner Jelena seg i punktet \(J(0,0)\), Nils befinner seg i punktet \(N(-1,2)\), og Ahmad befinner seg i punktet \(A(1,1)\). Enheten langs aksene er meter.
- Hvor langt er det mellom Nils og Ahmad? Gi svaret eksakt.
En basketball ligger i punktet \((-1, a)\), der \(a \in \mathbb{R}\). Vektoren som går fra Jelena til ballen, er parallell med vektoren som går fra Nils til Ahmad.
- Bestem \(a\).
Nils flytter seg til et nytt punkt \(M\). \(M\) er det nærmeste punktet som er plassert slik at avstanden mellom Jelena og Nils er \(\sqrt{10}\) meter. Vinkelen mellom Nils, Ahmad og Jelena, \(\angle MAJ\), er 90 grader.
- Bestem koordinatene til \(M\).
a) \(\underline{\underline{|NA| = \sqrt{5} \, \mathrm{m}}}\)
b) \(\underline{\underline{a = \dfrac{1}{2}}}\)
c) \(\underline{\underline{M = (-1,\, 3)}}\)
a
Vi finner vektoren \(\overrightarrow{NA}\) fra \(N(-1, 2)\) til \(A(1, 1)\):
Lengden er
b
Vektoren fra Jelena \(J(0, 0)\) til ballen \(B(-1, a)\) er
To vektorer er parallelle når determinanten er null (eller den ene er en skalarmultippel av den andre).
Alternativt: \(\overrightarrow{JB} = k \cdot \overrightarrow{NA}\) gir \(-1 = 2k\), altså \(k = -\tfrac{1}{2}\), og da \(a = k \cdot (-1) = \tfrac{1}{2}\).
c
Vi har to krav til punktet \(M\):
- Avstand \(JM = \sqrt{10}\): \(M\) ligger på sirkelen \(x^2 + y^2 = 10\).
- Vinkel \(\angle MAJ = 90°\): \(\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{AJ}\).
Vi finner \(\overrightarrow{AJ}\) fra \(A(1,1)\) til \(J(0,0)\):
En vektor vinkelrett på \((-1, -1)\) har retning \((1, -1)\) (roter 90°). Vi skriver
Da er
Krav 1 gir:
Dette gir to kandidater:
- \(k = 2\): \(M_1 = (3,\ -1)\)
- \(k = -2\): \(M_2 = (-1,\ 3)\)
Nils befant seg opprinnelig i \(N(-1, 2)\). Vi velger det nærmeste punktet til \(N\):
Det nærmeste punktet er \(M_2\):