Trekant og plan i rommet
Vi har gitt punktene \(A(1, 1, 0)\), \(B(4, 1, 1)\) og \(C(2, 0, -1)\).
- Bestem arealet av trekanten \(\triangle ABC\).
- Bestem avstanden fra punktet \(C\) til linja gjennom \(A\) og \(B\).
\(A\), \(B\) og \(C\) ligger i planet \(\alpha\). Punktet \(P\) har koordinatene \(P(-2, 1, 4)\).
- Lag en parameterframstilling for linja \(\ell\) som går gjennom punktet \(P\) og står vinkelrett på planet \(\alpha\).
En rett linje \(m\) går gjennom punktet \(P\), er parallell med planet \(\alpha\) og skjærer \(z\)-aksen i punktet \(D\).
- Bestem koordinatene til \(D\).
a) \(\underline{\underline{\text{Areal} = \dfrac{\sqrt{26}}{2} \approx 2{,}55}}\)
b) \(\underline{\underline{d = \dfrac{\sqrt{65}}{5} \approx 1{,}61}}\)
c) \(\underline{\underline{\ell \colon (x, y, z) = (-2 + t,\ 1 + 4t,\ 4 - 3t)}}\)
d) \(\underline{\underline{D = \left(0,\ 0,\ \dfrac{10}{3}\right)}}\)
a
Vi finner vektorene \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\):
Kryssprodukt:
Lengden av kryssproduktet:
Arealet av trekanten er halvparten av parallelogrammet utspent av \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\):
b
Avstanden fra et punkt \(C\) til linja gjennom \(A\) og \(B\) er:
Vi beregner \(|\overrightarrow{AB}|\):
Dermed:
c
Linja \(\ell\) gjennom \(P(-2, 1, 4)\) og vinkelrett på planet \(\alpha\) har retningsvektor lik normalvektoren til \(\alpha\).
Normalvektoren til \(\alpha\) er \(\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1, 4, -3)\) (beregnet i oppgave a).
Parameterframstilling for \(\ell\):
d
Punkt \(D\) ligger på \(z\)-aksen, så \(D = (0, 0, d)\) for et tall \(d\).
Linja \(m\) gjennom \(P(-2, 1, 4)\) og \(D\) er parallell med planet \(\alpha\). Det betyr at retningsvektoren \(\overrightarrow{PD}\) er vinkelrett på normalvektoren \(\mathbf{n} = (1, 4, -3)\).
Vi beregner \(\overrightarrow{PD}\):
Betingelsen \(\overrightarrow{PD} \perp \mathbf{n}\) gir \(\overrightarrow{PD} \cdot \mathbf{n} = 0\):
Dermed er \(D = \left(0,\ 0,\ \dfrac{10}{3}\right)\).