Vektorer, lengde og ortogonalitet
For \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er \(|\vec{a}| = 4\), \(|\vec{b}| = 2\sqrt{3}\) og vinkelen mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er \(30\degree\).
Det er gitt at \(\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}\).
Oppgave
- Regn ut den eksakte lengden av \(\vec{p}\).
Det er gitt at \(\vec{q} = t \cdot \vec{a} + \vec{b}\), der \(t \in \mathbb{R}\).
Oppgave
- Bestem \(t\) slik at \(\vec{p}\) og \(\vec{q}\) blir ortogonale.
Fasit
a) \(|\vec{p}| = 2\sqrt{13}\)
b) \(t = -\dfrac{6}{7}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi beregner \(|\vec{p}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2\):
\[|\vec{p}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \]
Prikkproduktet er
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos 30° = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12 \]
Dermed
\[|\vec{p}|^2 = 16 + 2 \cdot 12 + 12 = 52 \]
\(\underline{\underline{|\vec{p}| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}}}\)
b
\(\vec{p} \perp \vec{q}\) krever \(\vec{p} \cdot \vec{q} = 0\):
\[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (t\vec{a} + \vec{b}) = t|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + t\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 16t + 12 + 12t + 12 = 28t + 24 \]
\[28t + 24 = 0 \implies t = -\frac{24}{28} = -\frac{6}{7} \]
\(\underline{\underline{t = -\dfrac{6}{7}}}\)