Tolvkant innskrevet i sirkel
En tolvkant er innskrevet i en sirkel. Se figuren ovenfor. Tolvkanten er satt sammen av tolv like store likebeinte trekanter. Arealet av tolvkanten er 120.
Oppgave
- Bestem diameter i sirkelen. Gi svaret eksakt.
- Bestem omkretsen av tolvkanten. Gi svaret eksakt.
Fasit
a) \(d=4\sqrt{ 10 }\)
b) $O=24\left( \sqrt{ 15 } -\sqrt{ 5 } \right) $
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Alle 12 trekantene er like store. Dermed må arealet av hver trekant være \(\frac{120}{12}=\underline{ 10 }\).
Arealsetningen sier at
\[A=\frac{1}{2}ab \sin v \]
Siden trekantene våre er likebeinte med sidelengde \(r\) og vi kjenner vinkelen mellom beina kan vi forenkle og regne ut.
\[\begin{aligned} A&=\frac{1}{2}ab \sin v \\ 10 &= \frac{1}{2} r^{2} \cdot \sin 30 \degree \\ \frac{2 \cdot 10}{\sin 30 \degree} &= r^{2} \\ \frac{20}{\frac{1}{2}} &= r^{2} \\ r&=\sqrt{ 40 } \end{aligned} \]
Vi kan bestemme diameteren eksakt.
\[d=2r=2 \cdot \sqrt{ 40 }=2 \cdot \sqrt{ 4 \cdot 10 }=2 \cdot 2 \sqrt{ 10 } = 4\sqrt{ 10 } \]
Diameteren er \(\underline{\underline{ 4\sqrt{ 10 } }}\).
b
Vi kjenner to sider i trekantene og mangler den siste. Vi kan bruke cosinussetningen.
\[\begin{aligned} a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc \cdot \cos A \\ a^{2}&=\sqrt{ 40 }^{2}+\sqrt{ 40 }^{2}- 2\sqrt{ 40 }\cdot \sqrt{ 40 } \cdot \cos 30 \degree \\ a^{2}&=40+40-2 \cdot 40 \cdot \cos 30\degree \\ a^{2}&=80-80\cdot \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \\ a^{2}&=80\left( 1-\frac{\sqrt{ 3 }}{2} \right) \\ a^{2}&=80\left( \frac{2}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2} \right) \\ a^{2}&=40\left( 2-\sqrt{ 3 }\right) \\ a &= \sqrt{ 40 } \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{ 3 }} \\ a &= 2\sqrt{ 10 } \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{ 3 } } \\ a &= 2 \cdot \sqrt{ 20-10\sqrt{ 3 } } \end{aligned} \]
Tolvkanten består av tolv slike kanter.
\[O=12\cdot 2 \sqrt{ 20-10\sqrt{ 3 } }=24 \sqrt{ 20-10 \sqrt{ 3 } } \]
GeoGebra viser at dette kan forenkles til
\[\underline{\underline{ O=24 \left( \sqrt{ 15 } -\sqrt{ 5 } \right) }} \]