Ikke kvalitetssikret

Denne oppgaven er lest inn med KI og er ikke kontrollert enda. Det kan forekomme feil.

Oppgaven er hentet fra eksamen R2 V26 del 1 oppgave 3.

Trigonometriske verdier og likning R2 V26

Oppgave

Bestem \(\sin v\) og \(\tan v\) når \(\cos v = \dfrac{2}{3}\) og \(v\) er en vinkel i 4. kvadrant.
Løs likningen
\[2\cos\left( \frac{\pi}{3} x \right) = \sqrt{3}, \qquad x \in \langle 0, 10 \rangle \]

Fasit

a) \(\underline{\underline{\sin v = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}}}\), \(\quad\underline{\underline{\tan v = -\dfrac{\sqrt{5}}{2}}}\)
b) \(\underline{\underline{x \in \left\{\dfrac{1}{2},\ \dfrac{11}{2},\ \dfrac{13}{2}\right\}}}\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

a

Vi bruker den trigonometriske grunnidentiteten

\[\sin^2 v + \cos^2 v = 1 \]

og setter inn \(\cos v = \dfrac{2}{3}\):

\[\sin^2 v = 1 - \cos^2 v = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \]

Dermed er \(\sin v = \pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}\).

Siden \(v\) er en vinkel i 4. kvadrant, er \(\sin v < 0\), så

\[\textcolor{seagreen}{\sin v = -\frac{\sqrt{5}}{3}} \]

Vi finner tangens ved

\[\tan v = \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{\dfrac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{2} \]

\(\sin v = \underline{\underline{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}}\) og \(\tan v = \underline{\underline{-\dfrac{\sqrt{5}}{2}}}\)

b

Vi løser likningen

\[2\cos\!\left(\frac{\pi}{3}x\right) = \sqrt{3}, \qquad x \in \langle 0,\, 10 \rangle \]

Deler begge sider på 2:

\[\cos\!\left(\frac{\pi}{3}x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Vi kjenner at \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) når \(\theta = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\) eller \(\theta = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Tilfelle 1: \(\dfrac{\pi}{3}x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\)

\[x = \frac{3}{\pi}\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k\right) = \frac{1}{2} + 6k \]

Tilfelle 2: \(\dfrac{\pi}{3}x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\)

\[x = \frac{3}{\pi}\left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k\right) = -\frac{1}{2} + 6k \]

Vi finner alle løsninger i intervallet \(\langle 0, 10 \rangle\):

Fra tilfelle 1 (\(x = \tfrac{1}{2} + 6k\)):

\(k\)	\(x\)	I intervallet?
\(0\)	\(\tfrac{1}{2}\)	Ja
\(1\)	\(\tfrac{13}{2}\)	Ja
\(2\)	\(\tfrac{25}{2}\)	Nei

Fra tilfelle 2 (\(x = -\tfrac{1}{2} + 6k\)):

\(k\)	\(x\)	I intervallet?
\(0\)	\(-\tfrac{1}{2}\)	Nei
\(1\)	\(\tfrac{11}{2}\)	Ja
\(2\)	\(\tfrac{23}{2}\)	Nei

Løsningene er \(x \in \left\{\underline{\underline{\dfrac{1}{2},\ \dfrac{11}{2},\ \dfrac{13}{2}}}\right\}\)

Sensorveiledning · 4 poeng

a) (2 poeng) Kandidater som får feil, men fornuftig sinusverdi, og finner tangensverdien på riktig måte, kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten begrunne negativ sinusverdi. Kandidater som ikke finner en sinusverdi, men bare setter opp formelen for tangensverdien, får ingen uttelling.
b) (2 poeng) Kandidater som viser kompetanse innen trigonometriske likninger, men ikke kommer fram til tre løsninger, kan få 1 poeng.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i R2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Trigonometri

Oppgave	Fag	År	Oppg
Bevis for grenseverdien til sin v delt på v	R2	V23	1-5
Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon	R2	V23	2-5
Tangens, derivert og integral	R2	V23	1-2
Endevegg hus areal og takvinkel	1P-Y BA	V23	2-1
Solcellepanel areal og kostnad	1P-Y EL	V23	2-3
Trigonometri og effekttrekant	1P-Y EL	V23	1-4
Areal av trekant i sirkel	1T	V23	2-5
Areal av firkant ved hjelp av trigonometri	1T	V23	2-3
Begrunn hvorfor sin² u + cos² u = 1	1T	V23	1-1
Vis at (sin u) / (cos u) = tan u	1T	H22	1-1
Areal av område begrenset av sirkler	GRUBLE	Ingen	Ingen
Areal av sirkel og kvadrat som skjærer hverandre	1T, R1, R2	Ingen	Ingen
Areal av firekantet figur	1T	H23	2-2
Areal mellom cosinus og sinus	R2	H23	1-2
Likesidet trekant og cos 60°	1T	H23	1-1
Luftforurensning og sinusfunksjon	R2	H23	2-4
Strømproduksjon, trekant og resistans	1P-Y EL	H23	1-4
Takstol til garasje	1P-Y BA	H23	2-2
Tidevann og trigonometrisk modell	R2	H23	2-1
To trekanter og størst areal	1T	H23	1-4
Trekant med to løsninger	2P	H23	2-5
Garasjeloft og trigonometri	1P-Y BA	V24	1-5
Husvegg tak og solcellepaneler	1P-Y BA	V24	2-2
Lysbrytning i vann	1T	V24	2-2
Trekant med arealsetning og cosinussetning	1T	V24	2-3
Trigonometri i rettvinklet trekant	1T	V24	1-1
Sensor for utelys og trigonometri	R2	V24	2-3
Sinusfunksjon og egenskaper	R2	V24	1-5
Areal av firkant ABCD med trigonometri	1T	H24	2-6
Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen	1T	H24	1-4
Integral med delvis integrasjon og trigonometri	R2	H24	1-1
Radianer og eksakte trigonometriske verdier	R2	H24	1-4
Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	R2	H24	2-4
Sinusfunksjon og cosinusfunksjon	R2	H24	1-5
Stjernens areal med arealsetningen	1T	H24	2-2
Verifiser dobbeltvinkelformel med 30-60-90-trekant	1T	H24	1-1
Trigonometrisk funksjon og likning	R2	V25	1-4
Vinkel i sirkel og trigonometri	R2	V25	1-7
Takstol og trekant ABC	1P-Y BA	V25	2-1
Tolvkant innskrevet i sirkel	1T	V25	2-3
Trigonometri med arealsetning og cosinus	1T	V25	1-5
Sanne og usanne påstander om fart og vinkel	R2	H25	1-5
Sinusmodell for elektrisk spenning	R2	H25	2-2
Trigonometriske likninger og antall løsninger	R2	H25	1-4
Vektorer, lengde og ortogonalitet	R1	H25	2-5
App-ikon med sirkel og trekant	1P-Y IM	H25	1-5
Areal av firkant med trigonometri	1T	H25	2-3
Kledning og takkonstruksjon	1P-Y BA	H25	2-1
Solcellepaneler og trigonometri	1P-Y EL	H25	2-1
Trekantareal og sin 45 grader	1T	H25	1-5
Bruke definisjonene av sinus og cosinus til å sette opp forhold	1P-Y EL	H24	1-5
Lukas sin ukjente trekant	1P-Y EL	V25	1-5
Bruk enhetssirkel til å finne sinus og cosinusverdier	1P-Y EL	V24	1-4
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1
Funksjonsuttrykk fra trigonometrisk graf R2 V26	R2	V26	1-4
Vase som omdreiningslegeme R2 V26	R2	V26	2-4
Effekttrekant for motor Effekttrekant for motor	1P-Y EL	H24	2-1
Felix sine effektdiagrammer Felix sine effektdiagrammer	1P-Y EL	H25	1-5
Eksakte verdier av sin og cos 30 grader 1T V26	1T	V26	1-7
Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26	1T	V26	2-2
Transformator og effekttrekant	1P-Y EL	V26	2-1
Trekant med tangens lik 1 1T V26	1T	V26	1-6
Trevirke-avfall, trappeformel og loftstige	1P-Y BA	V26	2-1

Enhetssirkel

Oppgave	Fag	År	Oppg
Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen	1T	H24	1-4
Radianer og eksakte trigonometriske verdier	R2	H24	1-4
Vinkel i sirkel og trigonometri	R2	V25	1-7
Bruk enhetssirkel til å finne sinus og cosinusverdier	1P-Y EL	V24	1-4

Likninger

Oppgave	Fag	År	Oppg
Polynomdivisjon med ulikhet og eksponentiallikning	S2	H21	1-2
Polynomdivisjon og eksponentiallikning	S2	H22	1-3
Likninger og ulikheter fra grafer	2P	V23	1-4
Prisformel sparkesykkel	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V23	1-1
Faktorisering av tredjegradsuttrykk v23	1T	V23	1-3
Andregradsuttrykk skjæringspunkter med x-aksen	1T	V23	1-2
Nullpunkter og andregradslikninger	2P	H23	1-4
Bremselengde og fart	1P	V24	1-4
Lysbrytning i vann	1T	V24	2-2
Ispinner og mineralvann likningssystem	2P	V24	1-4
Logaritmeligningen med substitusjon	S1, R1	V24	1-2
Tre punkter på linje og rettvinklet trekant	R1	V24	1-4
Eksponentiallikning med substitusjon	S1, R1	H24	1-3
Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk	1T	H24	1-3
Integral med ukjent grense	S2	H24	1-1b-c
Trigonometrisk funksjon og likning	R2	V25	1-4
Tredjegradslikning og grafvalg	1T	V25	1-4
Trigonometriske likninger og antall løsninger	R2	H25	1-4
Logaritmeligninger	R1	H25	1-2
Logaritmiske likninger og logbaser	S1	H25	1-2
Fritt fall fra stupeplattform	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	H25	2-4
Håndtrykksformelen for n personer	1P-Y BA, 1P-Y DT, 1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V26	2-3
Likningssystem med andregradsfunksjon 1T V26	1T	V26	1-2
Næringsinnhold middag og makspuls	1P-Y HS	V26	2-1
Tredjegradslikning ved polynomdivisjon 1T V26	1T	V26	1-3
Næringsinnhold middag og svinn	1P-Y RM	V26	2-1