Tangens, derivert og integral
Oppgave
- Vis at dersom \(f(x) = \tan x\), så er \(f'(x) = 1 + \tan^2 x\).
- Regn ut
\[\int \frac{1 + \tan^2 x}{\tan x} \, dx \]
Fasit
a) \(f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\)
b) \(\underline{\underline{\ln|\tan x| + C}}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi skriver \(f(x) = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) og bruker kvotientregelen
\[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
med \(u = \sin x\), \(u' = \cos x\), \(v = \cos x\), \(v' = -\sin x\):
\[f'(x) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}\]
Siden \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) (Pytagoreisk identitet) får vi
\[f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \]
Vi kan også skrive dette som
\[\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \]
Dermed er \(\mathbf{f'(x) = 1 + \tan^2 x}\). \(\square\)
b
Vi kjenner igjen telleren fra del a): \(f'(x) = 1 + \tan^2 x\) er den deriverte av \(\tan x\).
Vi bruker substitusjonen \(u = \tan x\), som gir \(\mathrm{d}u = (1 + \tan^2 x)\,\mathrm{d}x\):
\[\int \frac{1 + \tan^2 x}{\tan x}\,\mathrm{d}x = \int \frac{\mathrm{d}u}{u} = \ln|u| + C = \underline{\underline{\ln|\tan x| + C}} \]