Trigonometriske verdier og likning R2 V26
- Bestem \(\sin v\) og \(\tan v\) når \(\cos v = \dfrac{2}{3}\) og \(v\) er en vinkel i 4. kvadrant.
- Løs likningen
\[2\cos\left( \frac{\pi}{3} x \right) = \sqrt{3}, \qquad x \in \langle 0, 10 \rangle \]
a) \(\underline{\underline{\sin v = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}}}\), \(\quad\underline{\underline{\tan v = -\dfrac{\sqrt{5}}{2}}}\)
b) \(\underline{\underline{x \in \left\{\dfrac{1}{2},\ \dfrac{11}{2},\ \dfrac{13}{2}\right\}}}\)
a
Vi bruker den trigonometriske grunnidentiteten
og setter inn \(\cos v = \dfrac{2}{3}\):
Dermed er \(\sin v = \pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}\).
Siden \(v\) er en vinkel i 4. kvadrant, er \(\sin v < 0\), så
Vi finner tangens ved
\(\sin v = \underline{\underline{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}}\) og \(\tan v = \underline{\underline{-\dfrac{\sqrt{5}}{2}}}\)
b
Vi løser likningen
Deler begge sider på 2:
Vi kjenner at \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) når \(\theta = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\) eller \(\theta = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Tilfelle 1: \(\dfrac{\pi}{3}x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\)
Tilfelle 2: \(\dfrac{\pi}{3}x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\)
Vi finner alle løsninger i intervallet \(\langle 0, 10 \rangle\):
Fra tilfelle 1 (\(x = \tfrac{1}{2} + 6k\)):
| \(k\) | \(x\) | I intervallet? |
|---|---|---|
| \(0\) | \(\tfrac{1}{2}\) | Ja |
| \(1\) | \(\tfrac{13}{2}\) | Ja |
| \(2\) | \(\tfrac{25}{2}\) | Nei |
Fra tilfelle 2 (\(x = -\tfrac{1}{2} + 6k\)):
| \(k\) | \(x\) | I intervallet? |
|---|---|---|
| \(0\) | \(-\tfrac{1}{2}\) | Nei |
| \(1\) | \(\tfrac{11}{2}\) | Ja |
| \(2\) | \(\tfrac{23}{2}\) | Nei |
Løsningene er \(x \in \left\{\underline{\underline{\dfrac{1}{2},\ \dfrac{11}{2},\ \dfrac{13}{2}}}\right\}\)