Trigonometriske likninger og antall løsninger
Oppgave
- Løs likningen
\[\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0 \quad , \quad x \in \left[0, 2\pi \right\rangle \]
Ta utgangspunkt i likningen
\[\left(\sin x - \frac{1}{2}\right)\left(\sin x - a\right) = 0 \quad , \quad x \in \left[0, 2\pi\right\rangle \text{ og } a \in \mathbb{R}
\]
Oppgave
- For hvilke verdier av \(a\) har likningen henholdsvis to, tre og fire løsninger?
Fasit
a) \(x = \dfrac{\pi}{3}\) og \(x = \dfrac{4\pi}{3}\)
b) To løsninger: \(|a|>1\) eller \(a=\dfrac{1}{2}\); tre løsninger: \(a=\pm 1\); fire løsninger: \(-1
Løsningsforslag
a
\[\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0 \implies \sin x = \sqrt{3}\cos x \implies \tan x = \sqrt{3}
\]
\[x = \frac{\pi}{3} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
I intervallet \([0, 2\pi)\):
\(\underline{\underline{x = \dfrac{\pi}{3}}}\) og \(\underline{\underline{x = \dfrac{4\pi}{3}}}\)
b
Likningen \(\left(\sin x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\sin x - a\right) = 0\) gir
\[\sin x = \frac{1}{2} \quad \text{eller} \quad \sin x = a
\]
\(\sin x = \dfrac{1}{2}\) har to løsninger i \([0, 2\pi)\): \(x = \dfrac{\pi}{6}\) og \(x = \dfrac{5\pi}{6}\).
\(\sin x = a\) kan ha \(0\), \(1\) eller \(2\) løsninger avhengig av \(a\), og eventuelt de samme som \(\sin x = \dfrac{1}{2}\).
To løsninger:
- \(|a| > 1\): \(\sin x = a\) har ingen løsninger. Totalt 2 løsninger fra \(\sin x = \dfrac{1}{2}\).
- \(a = \dfrac{1}{2}\): Begge faktorer gir samme to løsninger. Totalt 2 løsninger.
Tre løsninger:
- \(a = 1\): \(\sin x = 1\) gir \(x = \dfrac{\pi}{2}\) (én ny løsning). Totalt 3 løsninger.
- \(a = -1\): \(\sin x = -1\) gir \(x = \dfrac{3\pi}{2}\) (én ny løsning). Totalt 3 løsninger.
Fire løsninger:
- \(-1 < a < 1\) og \(a \neq \dfrac{1}{2}\): \(\sin x = a\) gir to nye løsninger (ulike fra \(\dfrac{\pi}{6}\) og \(\dfrac{5\pi}{6}\)). Totalt 4 løsninger.