Begrunn hvorfor sin² u + cos² u = 1
En rettvinklet trekant har sidelengder 8, 6 og 10. Se figuren under.
Vis at
\[(\sin u)^2 + (\cos u)^2 = 1 \]
{width=25%}
Fasit
Oppgaven er et bevis. Se løsningsforslag.
Løsningsforslag
Alternativ 1
Vi har at \(\sin u=\frac{8}{10}\) og \(\cos u =\frac{6}{10}\).
\[\sin^2u+\cos^2u=\left( \frac{8}{10} \right)^2+\left( \frac{6}{10} \right)^2=\frac{64}{100} +\frac{36}{100}=\frac{100}{100}=1 \]
Alternativ 2: bruke pytagoras
Vi har \(\sin u=\frac{8}{10} \iff 8=10 \sin u\) og \(\cos u=\frac{6}{10} \iff 6=10\cos u\)
Vi kan bruke pytagoras på trekanten og sette opp
\[\begin{aligned} 8^2+6^2&=10^2\\ \left( 10\sin u \right)^2 + \left( 10\cos u \right)^2 &= 10^2 \\ \cancel{ 10^2 }\sin^2 u+\cancel{ 10^2 } \cos^2u&=\cancel{ 10^2 }\\ \sin^2 u + \cos^2 u&=1 \end{aligned} \]
\(\underline{\underline{\left( \sin u \right)^2 + \left( \cos u \right)^2 = 1}}\), som skulle vises.[^1]
Sensorveiledning · 2 poeng
En kandidat som setter opp riktige forhold for sinus og cosinus, men ikke viser sammenhengen, får 1 poeng.