Polynomdivisjon og faktorisering
Guri har utført to ulike polynomdivisjoner og påstår at begge divisjonene viser at faktoriseringen nedenfor er riktig.
Hvilke to polynomdivisjoner kan hun ha utført?
Utfør de to polynomdivisjonene, og forklar at hver av dem viser at faktoriseringen er riktig.
Divisjon 1: \((2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (x - 2) = \underline{\underline{2x^2 + 7x + 3}}\), rest \(0\)
Divisjon 2: \((2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (2x^2 + 7x + 3) = \underline{\underline{x - 2}}\), rest \(0\)
Guri påstår at \(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (2x^2 + 7x + 3)(x - 2)\).
For å kontrollere dette kan hun dele på én av faktorene og sjekke at resten blir \(0\) og kvotienten er den andre faktoren. To naturlige valg er:
- Divisjon 1: dele på den enkle faktoren \((x - 2)\)
- Divisjon 2: dele på den kvadratiske faktoren \((2x^2 + 7x + 3)\)
Divisjon 1: \((2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (x - 2)\)
Steg for steg:
- \(2x^3 : x = 2x^2\), og \(2x^2 \cdot (x - 2) = 2x^3 - 4x^2\). Rest: \(7x^2 - 11x - 6\)
- \(7x^2 : x = 7x\), og \(7x \cdot (x - 2) = 7x^2 - 14x\). Rest: \(3x - 6\)
- \(3x : x = 3\), og \(3 \cdot (x - 2) = 3x - 6\). Rest: \(0\)
Kvotienten er \(2x^2 + 7x + 3\) og resten er \(0\).
Siden resten er \(0\), er \((x - 2)\) en faktor i \(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6\), og vi får
Dette viser at faktoriseringen er riktig.
Divisjon 2: \((2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (2x^2 + 7x + 3)\)
Steg for steg:
- \(2x^3 : 2x^2 = x\), og \(x \cdot (2x^2 + 7x + 3) = 2x^3 + 7x^2 + 3x\). Rest: \(-4x^2 - 14x - 6\)
- \(-4x^2 : 2x^2 = -2\), og \(-2 \cdot (2x^2 + 7x + 3) = -4x^2 - 14x - 6\). Rest: \(0\)
Kvotienten er \(x - 2\) og resten er \(0\).
Siden resten er \(0\), er \((2x^2 + 7x + 3)\) en faktor i \(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6\), og vi får
Dette viser at faktoriseringen er riktig.