Polynom med delelighetskriterium
Et polynom \(P\) er gitt ved
\[P(x) = x^3 - 12x - 16 \]
Oppgave
- Begrunn, uten å utføre polynomdivisjon, at \(P(x)\) er delelig med \((x + 2)\), men ikke med \((x - 2)\).
- Forkort brøken
\[\frac{x^3 - 12x - 16}{4x - 16} \]
Fasit
a) \(P(-2) = 0\), så \((x+2)\) er faktor. \(P(2) = -32 \neq 0\), så \((x-2)\) er ikke faktor.
b) \(\dfrac{(x+2)^2}{4}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi bruker faktorsettningen. Et polynom \(P(x)\) er delelig med \((x - a)\) hvis og bare hvis \(P(a) = 0\).
\[P(-2) = (-2)^3 - 12 \cdot (-2) - 16 = -8 + 24 - 16 = 0 \]
Siden \(P(-2) = 0\), er \(P(x)\) delelig med \((x + 2)\).
\[P(2) = 2^3 - 12 \cdot 2 - 16 = 8 - 24 - 16 = -32 \neq 0 \]
Siden \(P(2) \neq 0\), er \(P(x)\) ikke delelig med \((x - 2)\).
b
Vi utfører polynomdivisjon \(P(x) : (x + 2)\):
\[x^3 - 12x - 16 = (x + 2)(x^2 - 2x - 8) \]
Vi faktoriserer andregradsuttrykket:
\[x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) \]
Altså: \(P(x) = (x + 2)^2(x - 4)\).
Vi forkorter brøken:
\[\frac{x^3 - 12x - 16}{4x - 16} = \frac{(x+2)^2(x-4)}{4(x-4)} = \underline{\underline{\frac{(x+2)^2}{4}}} \]