Ikke kvalitetssikret

Denne oppgaven er lest inn med KI og er ikke kontrollert enda. Det kan forekomme feil.

Oppgaven er hentet fra eksamen S2 V20 del 2 oppgave 2.

Rottebestand og logistisk modell

I 2019 registrerte forskere antall rotter i en bypark noen dager i perioden fra og med 31. mai til og med 20. juli. Se tabellen.

Antall dager etter 31. mai	0	10	20	30	40	50
Antall rotter	6	15	37	72	104	126

Oppgave

La \(t\) være antall dager etter 31. mai, og bruk regresjon til å bestemme en logistisk modell \(g\) for antall rotter i parken.

Modellen \(f\) gitt ved

\[f(t) = \frac{120}{1 + 19 \cdot e^{-0{,}12t}} \]

viser hvor mange rotter det var i den samme parken \(t\) dager etter 31. mai i 2018.

Oppgave

Når økte antall rotter raskest, ifølge modellen \(f\)?
Hvor raskt økte rottebestanden da?

I en annen park ble det i 2019 registrert 20 rotter den 31. mai. Anta at rottebestanden også i denne parken følger en logistisk modell. Anta videre at veksten i antall rotter var størst den 15. juli, og at bestanden stabiliserte seg på 200.

Oppgave

Hvor mange rotter var det i denne parken den 30. juli, ifølge disse antakelsene?

Fasit

a) \(g(t) \approx \dfrac{140{,}3}{1 + 23{,}1 \cdot e^{-0{,}1056t}}\)
b) Etter ca. 24,5 dager. Veksten var da ca. 3,6 rotter per dag.
c) Ca. 135 rotter

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

a

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker logistisk regresjon.

\(t\)	0	10	20	30	40	50
Antall	6	15	37	72	104	126

Vi tilpasser en logistisk modell \(g(t) = \dfrac{C}{1 + a \cdot e^{-bt}}\).

Regresjonen gir

\[\underline{\underline{g(t) \approx \frac{140{,}3}{1 + 23{,}1 \cdot e^{-0{,}1056t}}}} \]

b

For en logistisk funksjon \(f(t) = \dfrac{C}{1 + a \cdot e^{-bt}}\) øker antallet raskest i vendepunktet, der \(f(t) = \dfrac{C}{2}\).

Vi bruker GeoGebra CAS til å finne vendepunktet til \(f\):

GeoGebra CAS: vendepunkt

Fra linje 2 ser vi at vendepunktet er i \((24{,}54, \; 60)\).

Fra linje 3 ser vi at \(f'(24{,}54) \approx 3{,}6\).

Antall rotter økte raskest etter ca. \(\underline{\underline{24{,}5 \mathrm{~dager}}}\) (rundt 25. juni).

Veksten var da ca. \(\underline{\underline{3{,}6 \text{~rotter per dag}}}\).

c

Vi skal finne en logistisk modell for den andre parken:

\[h(t) = \frac{C}{1 + a \cdot e^{-bt}} \]

Vi vet at:

\(C = 200\) (bestanden stabiliserer seg på 200)
\(h(0) = 20\) (20 rotter den 31. mai)
Veksten er størst 15. juli, som er dag \(t = 45\)

I vendepunktet er \(h(t) = \dfrac{C}{2} = 100\), og dette skjer ved \(t = 45\).

Fra \(h(0) = 20\):

\[\frac{200}{1 + a} = 20 \implies 1 + a = 10 \implies a = 9 \]

Fra vendepunkt ved \(t = 45\):

\[a \cdot e^{-45b} = 1 \implies 9 \cdot e^{-45b} = 1 \implies e^{-45b} = \frac{1}{9} \]

\[b = \frac{\ln 9}{45} \approx 0{,}0488 \]

Den 30. juli er dag \(t = 60\):

\[h(60) = \frac{200}{1 + 9 \cdot e^{-0{,}0488 \cdot 60}} = \frac{200}{1 + 9 \cdot e^{-2{,}929}} \]

\[= \frac{200}{1 + 9 \cdot 0{,}0535} = \frac{200}{1{,}482} \approx \underline{\underline{135 \mathrm{~rotter}}} \]

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Logistisk funksjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Harer på øy	S2	V19	2-2
Logistisk vekstmodell for gås	S2	H19	1-6
Logistisk funksjon fra graf	S2	V21	1-4
Virussmitte og logistisk modell	S2	H21	2-4
Immunitet og logistisk modell	S2	V22	2-1
Logistisk modell for oljefondet	S2	E22	2-1
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Influensaepidemi og logistisk vekst	R1	V24	2-1
Logistisk vekst for et produkt	S2	V24	2-1
Fiskepopulasjon og logistisk modell	R1	H24	2-3
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Logistisk salg av brannvarslingssystemer	S2	V25	2-3
Logistisk vekstmodell batteriteknologi	R1	V25	2-1
Logistisk vekstmodell	R1	H25	2-1
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1
Inntekt, kostnader og salgsprognose S2 V26	S2	V26	2-3
Logistisk modell for raketthastighet R1 V26	R1	V26	2-1

Regresjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Harer på øy	S2	V19	2-2
Eksponentiell modell for avkjøling av blåbærgelé	1P	E21	2-5
Immunitet og logistisk modell	S2	V22	2-1
Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell	1T, 1P	V22	2-4
Pendel og potensregresjon med forenklet formel	1P	H22	2-6
Pendel og potensregresjon med fysikkformel	1T	H22	2-5
Logistisk modell for oljefondet	S2	E22	2-1
Eksponentiell modell for salg av energidrikker	1P	V23	2-6
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Timelønn og lønnsvekst	S1, R1	V23	2-1
Konsentrasjon i kjemisk reaksjon	R1	H23	2-1
Antall fiskere og regresjon	1T	H23	2-4
Modell for antall fiskere	1P	H23	2-1
Modell for etterspørsel av vare	S2	H23	2-1
Modellering av bagettsalg	1T, 1P	V24	2-1
Modell for drivstoffutvikling i Moss	S1, R1	V24	2-6
Kubikktall	S2	V24	2-4
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Grenseinntekt og grensekostnad på del 2	S2	V25	2-1
Halvert fuglebestand	2P-Y, 2P	V25	2-6
Modell for Hannes løping	2P-Y	H24	2-6
Modeller for parkeringsavtaler	2P-Y	H24	2-4
Eksponentiell vekst nettbutikk	2P-Y, 2P	H25	2-1
Sinusmodell for elektrisk spenning	R2	H25	2-2
Eksponentiell modell for befolkningsvekst	S1	H25	2-1
Logistisk vekstmodell	R1	H25	2-1
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1
Fiskelengde og potensfunksjonsmodell	1P	H25	2-1
Vekt og lengde potensfunksjon	1T	H25	2-1
Instagram-følgere eksponentiell vekst	2P-Y, 2P	V24	2-4
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1
Inntekt, kostnader og salgsprognose S2 V26	S2	V26	2-3
Potensregresjon for volum og radius S1 V26	S1	V26	2-1

Modellering

Oppgave	Fag	År	Oppg
Harer på øy	S2	V19	2-2
Logistisk vekstmodell for gås	S2	H19	1-6
Tredjegradsfunksjon og vannstand	S2	V20	1-5
Netflix-inntekter og integral	S2	H20	2-1
Virkestoff og halveringstid	S2	H20	2-4
Logistisk funksjon fra graf	S2	V21	1-4
Virussmitte og logistisk modell	S2	H21	2-4
Dyrebestand lineær og eksponentiell modell	1T	H21	2-2
Monica og Sissel aldersoppgave	1T	H21	2-4
Skisalg med tredjegradsmodell	1T	H21	2-1
Stabling av erteboksbokser i to mønstre	1T	H21	2-7
Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant	1T	H21	2-8
Bilutleie fra tre firmaer med lineære priser	1P	V22	2-2
Immunitet og logistisk modell	S2	V22	2-1
Klossmønster i tre figurer	1T, 1P	V22	2-2
Lysgardin med tråder i økende lengde	1P	V22	2-8
Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell	1T, 1P	V22	2-4
Vanntank som tappes ut	1T, 1P	V22	2-1
Gardiner som parabler kuttet fra tøyrull	1T	H22	2-7
Hagebasseng som kjøles ned	1T, 1P	H22	2-1
Pendel og potensregresjon med forenklet formel	1P	H22	2-6
Pendel og potensregresjon med fysikkformel	1T	H22	2-5
Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon	2P-Y	V23	2-7
Logistisk modell for oljefondet	S2	E22	2-1
Lineær modell for Klaras høyde	1P	V23	1-4
Ishockeypuck med vektorfunksjon	R1	H23	2-5
Konsentrasjon i kjemisk reaksjon	R1	H23	2-1
Sofaproduksjon og overskudd	S1	H23	2-1
Antall fiskere og regresjon	1T	H23	2-4
Folketall i et område	1T	H23	2-1
Luftforurensning og sinusfunksjon	R2	H23	2-4
Sondres modell for hundeår	1P	H23	1-4
Tidevann og trigonometrisk modell	R2	H23	2-1
Klimagassutslipp eksponentiell vekst	2P	H23	2-8
Modell for etterspørsel av vare	S2	H23	2-1
Bremselengde og fart	1P	V24	1-4
Lufttrykk og kokepunkt for vann	1T, 1P	V24	2-5
Modellering av bagettsalg	1T, 1P	V24	2-1
Influensaepidemi og logistisk vekst	R1	V24	2-1
Modell for drivstoffutvikling i Moss	S1, R1	V24	2-6
Momentmagnitudeskala og energi	R1	V24	2-4
To biler på kryss og motorvei	R1	V24	2-3
Fotball hjørnespark og vektorer	R2	V24	2-1
Sensor for utelys og trigonometri	R2	V24	2-3
Fiskepopulasjon og logistisk modell	R1	H24	2-3
Vannreservoar med eksponentiell funksjon	R1	H24	2-1
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde	1T	H24	2-7
Bil på spiralvei i parkeringshus	R2	V25	2-1
Harens fart og gjennomsnittsfart	R2	V25	2-3
Logistisk salg av brannvarslingssystemer	S2	V25	2-3
Fiskebåt og vektorbevegelse	R1	V25	2-4
Logistisk vekstmodell batteriteknologi	R1	V25	2-1
Oljefondet og eksponentiell modell	S1	V25	2-6
Kikhoste og eksponentiell modell	1T	V25	2-1
Kikhoste som eksponentiell vekst	1P	V25	2-1
Sofie lager bagetter hjemme	1P	V25	2-7
Modell for Hannes løping	2P-Y	H24	2-6
Modell for lengde av skjerf	2P-Y	V25	2-5
Modeller for parkeringsavtaler	2P-Y	H24	2-4
Eksponentiell vekst nettbutikk	2P-Y, 2P	H25	2-1
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
Eksponentiell modell for befolkningsvekst	S1	H25	2-1
Logistisk vekstmodell	R1	H25	2-1
Luktintensitet og logaritmer	S1	H25	2-5
Luktintensitet og logaritmisk modell	R1	H25	2-3
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1
Tangent til parabel og lagerhall	1T	H25	2-6
Eksponentialfunksjon for tomflasker	2P-Y	V23	2-6
Bremselengde med formel	1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y DT, 1P-Y BA, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V24	1-3
Isak reiser Oslo til Stockholm	1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y DT, 1P-Y BA, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V24	2-4
Klimagassutslipp lineær og eksponensiel modell	2P-Y	H23	2-8
Personbiler lineær modell	2P-Y	H23	1-2
Stine hurtiglader elbil	1P-Y EL	V24	2-2
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1
Propellfly med vektorfunksjon R2 V26	R2	V26	2-3
Vase som omdreiningslegeme R2 V26	R2	V26	2-4
CO2-utslipp og optimal fart 1T V26	1P, 1T	V26	2-1
Energiforbruk og kostnad ved varmtvannsdusj 1P V26	1P	V26	2-4
Forbrukslån for Sigurd kontra kredittkort	1P-Y BA, 1P-Y DT, 1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V26	2-5
Kryptovaluta - Bitcoin og Ethereum	1P-Y IM	V26	2-2
Lineær modell for bom i hyttefelt 1P V26	1P	V26	1-9
Stillas med fakk og leiekostnader	1P-Y BA	V26	2-2
Tolke fuglebestand i Python-kode 1P V26	1P	V26	1-13
Vipebestand med eksponentielle modeller 1T V26	1P, 1T	V26	2-3
Eksponentiell modell for utslippsreduksjon 2P-Y V26	2P-Y, 2P	V26	2-1
Logistisk modell for raketthastighet R1 V26	R1	V26	2-1
Potensregresjon for volum og radius S1 V26	S1	V26	2-1
Strømstønad som delt funksjon S1 V26	S1	V26	2-4
Stykkevis funksjon for strømstønad R1 V26	R1	V26	2-4
Tre medlemskap i mekkeklubb 2P-Y V26	2P-Y	V26	2-2