Eksponentiell modell for salg av energidrikker
Tabellen nedenfor viser salg av energidrikker i Norge hvert år fra 2015 til 2021.
| Årstall | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Salg (tusen liter) | \(18\,899\) | \(21\,664\) | \(25\,381\) | \(31\,385\) | \(41\,142\) | \(55\,497\) | \(67\,997\) |
La \(x\) være antall år etter 2015.
- Lag en modell på formen
\[E(x) = a \cdot b^{x} \]
som passer godt med tallene i tabellen.
- Hva forteller tallene \(a\) og \(b\) i modellen du fant i oppgave a)?
I 2022 var salget av energidrikk 73 109 tusen liter.
- Hvor stor var økningen i salget av energidrikk i prosent fra 2021 til 2022? Vurder hvordan dette passer med modellen i oppgave a).
a) \(\underline{\underline{E(x) = 17\,396 \cdot 1{,}248^x}}\)
b) \(a \approx 17\,396\): modellens estimat for salget i 2015 (tusen liter). \(b \approx 1{,}248\): salget øker med ca. \(\underline{\underline{24{,}8 \,\%}}\) per år ifølge modellen.
c) Faktisk økning fra 2021 til 2022: \(\underline{\underline{\approx 7{,}5 \,\%}}\). Modellen passer dårlig for 2022 — veksten har avtatt kraftig.
a
Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker eksponentiell regresjon med kommandoen RegEksp.
La \(x\) = antall år etter 2015 og \(y\) = salg i tusen liter.
Datapunktene er plottet som røde punkter i grafen under. GeoGebra gir regresjonsmodellen
Kurven passer godt med datapunktene fra 2015 til 2021 (se grafen).
b
-
\(a \approx 17\,396\) er modellens verdi for \(E(0)\), det vil si estimert salg i 2015: ca. \(17\,400\) tusen liter. (Det faktiske salget i 2015 var \(18\,899\) tusen liter — \(a\) er altså et estimat, ikke den eksakte verdien.)
-
\(b \approx 1{,}248\) er vekstfaktoren. Det betyr at salget ifølge modellen øker med ca. \(24{,}8 \,\%\) per år.
c
Vi beregner faktisk prosentvis økning fra 2021 til 2022:
Den faktiske veksten fra 2021 til 2022 var altså ca. \(7{,}5 \,\%\).
Modellen vår anslår en vekst på ca. \(24{,}8 \,\%\) per år. Det er langt mer enn den faktiske veksten på \(7{,}5 \,\%\).
Vi kan også sammenligne modellens spådom for 2022 (\(x = 7\)) med det faktiske salget:
Faktisk salg i 2022 var \(73\,109\) tusen liter (det grønne punktet P2022 i grafen). Modellen overestimerer altså salget i 2022 med ca. 9 000 tusen liter.
Modellen passer dårlig for 2022. Veksten i salget har avtatt betydelig — fra rundt \(25 \,\%\) per år (2015–2021) til bare \(7{,}5 \,\%\) fra 2021 til 2022. Den eksponentielle modellen er best egnet for perioden den er basert på (2015–2021), men overestimerer kraftig når veksten bremser opp.