Ikke kvalitetssikret

Denne oppgaven er lest inn med KI og er ikke kontrollert enda. Det kan forekomme feil.

Oppgaven er hentet fra eksamen S2 V22 del 2 oppgave 1.

Immunitet og logistisk modell

I en by i Norge ble det i 2021 kartlagt hvor mange som ble immune mot en sykdom.

Tabellen viser hvor stor prosentandel av befolkningen som var immune ved slutten av noen utvalgte måneder i 2021.

\(t\)	2	4	6	8	10
Prosentandel immune	6	21	41	68	81

Her er \(t = 1\) slutten av januar 2021, \(t = 2\) slutten av februar 2021 og så videre.

Oppgave

Bruk regresjon til å bestemme en logistisk modell \(g\) for situasjonen.
Ved hvilket tidspunkt vil andelen immune passere 85 prosent ifølge modellen?
Vil hele befolkningen noen gang bli immune ifølge modellen? Begrunn svaret.

I en annen by er \(N\) gitt ved

\[N(t) = \frac{2300e^{-0{,}61t}}{(1 + 40e^{-0{,}61t})^2} \]

en god modell for hvor mye prosentandelen som er immune, økte med per måned, \(t\) måneder etter 1. januar 2021. Det vil si at \(N(1)\) er prosentandelen nye immune i januar 2021, \(N(2)\) er prosentandelen nye immune i februar 2021, og så videre.

Oppgave

Bruk graftegner til å tegne grafen til \(N\).
Bestem \(\displaystyle\int_{0{,}5}^{12{,}5} N(t) \, \mathrm{d}t\). Hva forteller svaret i denne situasjonen?

Fasit

a) \(g(t) \approx \dfrac{90}{1 + 38{,}6 \cdot e^{-0{,}59t}}\)
b) \(t \approx 11\), dvs. slutten av november 2021
c) Nei, grenseverdien er ca. 90 %
d) Se graf
e) \(\approx 89{,}4\) prosentpoeng

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

a

Vi bruker logistisk regresjon på datapunktene \((2, 6)\), \((4, 21)\), \((6, 41)\), \((8, 68)\), \((10, 81)\).

Regresjonen gir en logistisk modell:

\[\underline{\underline{g(t) \approx \frac{90}{1 + 38{,}6 \cdot e^{-0{,}59t}}}} \]

b

Vi skal løse \(g(t) = 85\):

\[\frac{90}{1 + 38{,}6 \cdot e^{-0{,}59t}} = 85 \]

\[1 + 38{,}6 \cdot e^{-0{,}59t} = \frac{90}{85} \approx 1{,}059 \]

\[e^{-0{,}59t} = \frac{0{,}059}{38{,}6} \approx 0{,}00153 \]

\[t = \frac{-\ln(0{,}00153)}{0{,}59} \approx \underline{\underline{11}} \]

Andelen immune passerer 85 % ved slutten av november 2021.

c

Grenseverdien til den logistiske modellen er \(L \approx 90\):

\[\lim_{t \to \infty} g(t) = \frac{90}{1 + 0} = 90 \]

Nei, hele befolkningen vil aldri bli immune ifølge modellen. Andelen nærmer seg 90 %, men når aldri 100 %.

d

Graf av N(t)

Grafen viser at \(N(t)\) starter lavt, stiger til et maksimum rundt \(t \approx 6\) (juni), og avtar deretter mot null.

e

Vi beregner integralet i CAS, se utklipp under.

GeoGebra CAS

\[\int_{0{,}5}^{12{,}5} N(t) \, \mathrm{d}t \approx \underline{\underline{89{,}4}} \]

Svaret forteller at den totale prosentandelen av befolkningen som ble immune i løpet av de 12 månedene fra midten av januar til midten av januar (altså hele 2021), var ca. 89,4 prosentpoeng.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Logistisk funksjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Harer på øy	S2	V19	2-2
Logistisk vekstmodell for gås	S2	H19	1-6
Rottebestand og logistisk modell	S2	V20	2-2
Logistisk funksjon fra graf	S2	V21	1-4
Virussmitte og logistisk modell	S2	H21	2-4
Logistisk modell for oljefondet	S2	E22	2-1
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Influensaepidemi og logistisk vekst	R1	V24	2-1
Logistisk vekst for et produkt	S2	V24	2-1
Fiskepopulasjon og logistisk modell	R1	H24	2-3
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Logistisk salg av brannvarslingssystemer	S2	V25	2-3
Logistisk vekstmodell batteriteknologi	R1	V25	2-1
Logistisk vekstmodell	R1	H25	2-1
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1
Inntekt, kostnader og salgsprognose S2 V26	S2	V26	2-3
Logistisk modell for raketthastighet R1 V26	R1	V26	2-1

Regresjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Harer på øy	S2	V19	2-2
Rottebestand og logistisk modell	S2	V20	2-2
Eksponentiell modell for avkjøling av blåbærgelé	1P	E21	2-5
Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell	1T, 1P	V22	2-4
Pendel og potensregresjon med forenklet formel	1P	H22	2-6
Pendel og potensregresjon med fysikkformel	1T	H22	2-5
Logistisk modell for oljefondet	S2	E22	2-1
Eksponentiell modell for salg av energidrikker	1P	V23	2-6
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Timelønn og lønnsvekst	S1, R1	V23	2-1
Konsentrasjon i kjemisk reaksjon	R1	H23	2-1
Antall fiskere og regresjon	1T	H23	2-4
Modell for antall fiskere	1P	H23	2-1
Modell for etterspørsel av vare	S2	H23	2-1
Modellering av bagettsalg	1T, 1P	V24	2-1
Modell for drivstoffutvikling i Moss	S1, R1	V24	2-6
Kubikktall	S2	V24	2-4
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Grenseinntekt og grensekostnad på del 2	S2	V25	2-1
Halvert fuglebestand	2P-Y, 2P	V25	2-6
Modell for Hannes løping	2P-Y	H24	2-6
Modeller for parkeringsavtaler	2P-Y	H24	2-4
Eksponentiell vekst nettbutikk	2P-Y, 2P	H25	2-1
Sinusmodell for elektrisk spenning	R2	H25	2-2
Eksponentiell modell for befolkningsvekst	S1	H25	2-1
Logistisk vekstmodell	R1	H25	2-1
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1
Fiskelengde og potensfunksjonsmodell	1P	H25	2-1
Vekt og lengde potensfunksjon	1T	H25	2-1
Instagram-følgere eksponentiell vekst	2P-Y, 2P	V24	2-4
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1
Inntekt, kostnader og salgsprognose S2 V26	S2	V26	2-3
Potensregresjon for volum og radius S1 V26	S1	V26	2-1

Integral

Oppgave	Fag	År	Oppg
Netflix-inntekter og integral	S2	H20	2-1
Sauevekt og normalfordeling	S2	V21	1-7
Virussmitte og logistisk modell	S2	H21	2-4
Gjennomsnitt med algoritme og program	R1	V23	2-7
Grafens lengde med polylinje	R2	V23	2-6
Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon	R2	V23	2-5
Tangens, derivert og integral	R2	V23	1-2
To bestemte integraler	R2	V23	1-1
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Bestemt integral	S2	E22	1-1a
Ubestemt integral	S2	E22	1-1b
Bestemt integral 2	S2	V23	1-1
Areal under graf med programmering	1T	V23	2-4
Rart integral	S2, R2	Ingen	Ingen
Areal mellom cosinus og sinus	R2	H23	1-2
Volum av tønne ved integrasjon	R2	H23	2-3
Bestemt integral 3	S2, R2	H23	1-1
Ukjent program h23	S2, R2	H23	1-4
Bestemt integral og areal	S2, R2	V24	1-1
Ubestemt integral med substitusjon	R2	V24	1-2
Ubestemt integral v24	S2	V24	1-2
Volum av pære med omdreiningslegeme	R2	V24	2-2
Logistisk vekst for et produkt	S2	V24	2-1
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Integral med delvis integrasjon og trigonometri	R2	H24	1-1
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen	R2	H24	2-6
Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	R2	H24	2-4
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Integral med ukjent grense	S2	H24	1-1b-c
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Påstand om områder avgrenset av grafer	S2	H24	2-3b
Ubestemt integral h24	S2	H24	1-1a
Harens fart og gjennomsnittsfart	R2	V25	2-3
Bestem f ut fra den deriverte	S2, R2	V25	1-2
Integraler S2 v25	S2, R2	V25	1-1
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Programmering og numerisk integrasjon	R2	H25	2-4
Sinusmodell for elektrisk spenning	R2	H25	2-2
Ubestemt integral med delvis integrasjon	R2	H25	1-1
Volum av omdreiningslegeme – kopp	R2	H25	1-2
Ubestemt integral S2 H2025	S2	H25	1-1
Tolkning av integral og areal fra graf Tolkning av integral og areal fra graf	S2, R2	H25	1-3

Modellering

Oppgave	Fag	År	Oppg
Harer på øy	S2	V19	2-2
Logistisk vekstmodell for gås	S2	H19	1-6
Rottebestand og logistisk modell	S2	V20	2-2
Tredjegradsfunksjon og vannstand	S2	V20	1-5
Netflix-inntekter og integral	S2	H20	2-1
Virkestoff og halveringstid	S2	H20	2-4
Logistisk funksjon fra graf	S2	V21	1-4
Virussmitte og logistisk modell	S2	H21	2-4
Dyrebestand lineær og eksponentiell modell	1T	H21	2-2
Monica og Sissel aldersoppgave	1T	H21	2-4
Skisalg med tredjegradsmodell	1T	H21	2-1
Stabling av erteboksbokser i to mønstre	1T	H21	2-7
Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant	1T	H21	2-8
Bilutleie fra tre firmaer med lineære priser	1P	V22	2-2
Klossmønster i tre figurer	1T, 1P	V22	2-2
Lysgardin med tråder i økende lengde	1P	V22	2-8
Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell	1T, 1P	V22	2-4
Vanntank som tappes ut	1T, 1P	V22	2-1
Gardiner som parabler kuttet fra tøyrull	1T	H22	2-7
Hagebasseng som kjøles ned	1T, 1P	H22	2-1
Pendel og potensregresjon med forenklet formel	1P	H22	2-6
Pendel og potensregresjon med fysikkformel	1T	H22	2-5
Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon	2P-Y	V23	2-7
Logistisk modell for oljefondet	S2	E22	2-1
Lineær modell for Klaras høyde	1P	V23	1-4
Ishockeypuck med vektorfunksjon	R1	H23	2-5
Konsentrasjon i kjemisk reaksjon	R1	H23	2-1
Sofaproduksjon og overskudd	S1	H23	2-1
Antall fiskere og regresjon	1T	H23	2-4
Folketall i et område	1T	H23	2-1
Luftforurensning og sinusfunksjon	R2	H23	2-4
Sondres modell for hundeår	1P	H23	1-4
Tidevann og trigonometrisk modell	R2	H23	2-1
Klimagassutslipp eksponentiell vekst	2P	H23	2-8
Modell for etterspørsel av vare	S2	H23	2-1
Bremselengde og fart	1P	V24	1-4
Lufttrykk og kokepunkt for vann	1T, 1P	V24	2-5
Modellering av bagettsalg	1T, 1P	V24	2-1
Influensaepidemi og logistisk vekst	R1	V24	2-1
Modell for drivstoffutvikling i Moss	S1, R1	V24	2-6
Momentmagnitudeskala og energi	R1	V24	2-4
To biler på kryss og motorvei	R1	V24	2-3
Fotball hjørnespark og vektorer	R2	V24	2-1
Sensor for utelys og trigonometri	R2	V24	2-3
Fiskepopulasjon og logistisk modell	R1	H24	2-3
Vannreservoar med eksponentiell funksjon	R1	H24	2-1
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde	1T	H24	2-7
Bil på spiralvei i parkeringshus	R2	V25	2-1
Harens fart og gjennomsnittsfart	R2	V25	2-3
Logistisk salg av brannvarslingssystemer	S2	V25	2-3
Fiskebåt og vektorbevegelse	R1	V25	2-4
Logistisk vekstmodell batteriteknologi	R1	V25	2-1
Oljefondet og eksponentiell modell	S1	V25	2-6
Kikhoste og eksponentiell modell	1T	V25	2-1
Kikhoste som eksponentiell vekst	1P	V25	2-1
Sofie lager bagetter hjemme	1P	V25	2-7
Modell for Hannes løping	2P-Y	H24	2-6
Modell for lengde av skjerf	2P-Y	V25	2-5
Modeller for parkeringsavtaler	2P-Y	H24	2-4
Eksponentiell vekst nettbutikk	2P-Y, 2P	H25	2-1
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
Eksponentiell modell for befolkningsvekst	S1	H25	2-1
Logistisk vekstmodell	R1	H25	2-1
Luktintensitet og logaritmer	S1	H25	2-5
Luktintensitet og logaritmisk modell	R1	H25	2-3
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1
Tangent til parabel og lagerhall	1T	H25	2-6
Eksponentialfunksjon for tomflasker	2P-Y	V23	2-6
Bremselengde med formel	1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y DT, 1P-Y BA, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V24	1-3
Isak reiser Oslo til Stockholm	1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y DT, 1P-Y BA, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V24	2-4
Klimagassutslipp lineær og eksponensiel modell	2P-Y	H23	2-8
Personbiler lineær modell	2P-Y	H23	1-2
Stine hurtiglader elbil	1P-Y EL	V24	2-2
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1
Propellfly med vektorfunksjon R2 V26	R2	V26	2-3
Vase som omdreiningslegeme R2 V26	R2	V26	2-4
CO2-utslipp og optimal fart 1T V26	1P, 1T	V26	2-1
Energiforbruk og kostnad ved varmtvannsdusj 1P V26	1P	V26	2-4
Forbrukslån for Sigurd kontra kredittkort	1P-Y BA, 1P-Y DT, 1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V26	2-5
Kryptovaluta - Bitcoin og Ethereum	1P-Y IM	V26	2-2
Lineær modell for bom i hyttefelt 1P V26	1P	V26	1-9
Stillas med fakk og leiekostnader	1P-Y BA	V26	2-2
Tolke fuglebestand i Python-kode 1P V26	1P	V26	1-13
Vipebestand med eksponentielle modeller 1T V26	1P, 1T	V26	2-3
Eksponentiell modell for utslippsreduksjon 2P-Y V26	2P-Y, 2P	V26	2-1
Logistisk modell for raketthastighet R1 V26	R1	V26	2-1
Potensregresjon for volum og radius S1 V26	S1	V26	2-1
Strømstønad som delt funksjon S1 V26	S1	V26	2-4
Stykkevis funksjon for strømstønad R1 V26	R1	V26	2-4
Tre medlemskap i mekkeklubb 2P-Y V26	2P-Y	V26	2-2