Vi har fått oppgitt at
\[\int 1 \, \mathrm{d}x + \int x \, \mathrm{d}x + \int x^{2} \, \mathrm{d}x + \int x^{3} \, \mathrm{d}x + \dots= \int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x \]
(1)
Vi gjennomfører resonnementet vårt i flere steg.
Integrasjon av høyre side
Vi ser først på høyre side av likning 1. Vi ser at vi kan integrere denne siden ved å gjøre variabelskiftet \(u=1-x \implies \frac{du}{dx}=-1 \iff dx =-1 \cdot du\).
Integralet blir (sett bort fra integrasjonskonstantene)
\[\int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x = \int \frac{1}{u} \cdot (-1)\, \mathrm{d}u = -\int \frac{1}{u}\, \mathrm{d}u = -\ln \left| 1-x \right| \]
Integrasjon av venstre side
Vi gjennomfører så integrasjonene på venstre side av likning 1 og får
\[\int 1 \, \mathrm{d}x + \int x \, \mathrm{d}x + \int x^{2} \, \mathrm{d}x + \int x^{3} \, \mathrm{d}x + \dots =\textcolor{orange}{x}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{2}x^{2}}+\textcolor{steelblue}{\frac{1}{3}x^{3}}+ \textcolor{tomato}{\frac{1}{4}x^{4}} + \dots \]
Ved å integrere begge sidene av likning 1 har vi altså foreløpig vist at:
\[x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+ \frac{1}{4}x^{4} + \dots = -\ln \left| 1-x \right| \]
Vise at rekka er lik \(\ln 2\)
Vi skal vise at
\[\textcolor{orange}{\frac{1}{2^{1}}}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}} +\textcolor{steelblue}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}}} +\textcolor{tomato}{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}}} + \dots = \ln 2 \]
(2)
Vi sammenligner venstre side i likning 2 med svaret vi fikk da vi integrerte venstre side i likning 1.
\[\textcolor{orange}{x}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{2}x^{2}}+\textcolor{steelblue}{\frac{1}{3}x^{3}}+ \textcolor{tomato}{\frac{1}{4}x^{4}} + \dots=\textcolor{orange}{\frac{1}{2^{1}}}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}} +\textcolor{steelblue}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}}} +\textcolor{tomato}{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}}} + \dots \]
(3)
Ved sammenligning av leddene ser vi at \(x=\frac{1}{2}\) er en løsning av likning 3.
Siden \(x=\frac{1}{2}\), så sjekker vi hva \(-\ln \left| 1-x \right|\) gir oss når \(x=\frac{1}{2}\)
\[-\ln \left| 1-x \right| = - \ln \left| 1-\frac{1}{2} \right| =-\ln \underbrace{ \left| \frac{1}{2} \right| }_{ \left| \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} } = \underbrace{ {- \ln \left( \frac{1}{2} \right) =-\left( \cancelto{ 0 }{ \ln 1 } - \ln 2 \right)}}_{\text{Regel:} \ln\left( \frac{a}{b} \right) = \ln a - \ln b} =\ln 2 \]
Vi har altså vist at
\[x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+ \frac{1}{4}x^{4} + \dots = -\ln \left| 1-x \right| \]
Og for \(x=\frac{1}{2}\) gjelder derfor:
\[\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} +\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} +\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}} + \dots = \ln 2 \qquad \blacksquare \]