Summer av rekker
Nedenfor er det gitt en aritmetisk og en geometrisk rekke.
Bestem summen til hver av rekkene.
Oppgave
- \(-6 - 1 + 4 + 9 + 14 + \cdots + 189\)
- \(72 - 36 + 18 - 9 + \cdots\)
Fasit
a) \(S_{40} = 3660\)
b) \(S = 48\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Rekken \(-6 - 1 + 4 + 9 + 14 + \cdots + 189\) er aritmetisk med \(a_1 = -6\) og \(d = 5\).
Vi finner antall ledd \(n\):
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \quad \Rightarrow \quad 189 = -6 + (n-1) \cdot 5
\]
\[195 = (n-1) \cdot 5 \quad \Rightarrow \quad n - 1 = 39 \quad \Rightarrow \quad n = 40
\]
Summen av en aritmetisk rekke:
\[S_{40} = \frac{a_1 + a_{40}}{2} \cdot 40 = \frac{-6 + 189}{2} \cdot 40 = \frac{183}{2} \cdot 40 = \underline{\underline{3660}}
\]
b
Rekken \(72 - 36 + 18 - 9 + \cdots\) er geometrisk med \(a_1 = 72\) og \(k = -\dfrac{1}{2}\).
Siden \(|k| < 1\), konvergerer rekken, og summen er
\[S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{72}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{72}{\frac{3}{2}} = \underline{\underline{48}}
\]