Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser
I en rekke \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) er \(a_2 = 8\) og \(a_4 = 2\).
Oppgave
- Bestem summen av de seks første leddene i rekken, dersom den er aritmetisk.
Det fins to geometriske rekker som tilfredsstiller betingelsene ovenfor.
Oppgave
- Bestem summen av de seks første leddene i hver av de to geometriske rekkene.
Fasit
a) \(s_6 = 21\)
b) \(s_6 = \frac{63}{2}\) eller \(s_6 = -\frac{21}{2}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
I en aritmetisk rekke er \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Vi har:
\[a_2 = a_1 + d = 8 \quad \text{og} \quad a_4 = a_1 + 3d = 2 \]
Vi trekker den første fra den andre:
\[2d = 2 - 8 = -6 \implies d = -3 \]
\[a_1 = 8 - (-3) = 11 \]
Summen av de seks første leddene:
\[s_6 = \frac{6}{2}(2 \cdot 11 + 5 \cdot (-3)) = 3(22 - 15) = \underline{\underline{21}} \]
b
I en geometrisk rekke er \(a_n = a_1 \cdot k^{n-1}\). Vi har:
\[a_2 = a_1 k = 8 \quad \text{og} \quad a_4 = a_1 k^3 = 2 \]
Vi deler:
\[\frac{a_4}{a_2} = k^2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \implies k = \pm \frac{1}{2} \]
Tilfelle 1: \(k = \frac{1}{2}\), da er \(a_1 = \frac{8}{1/2} = 16\)
\[s_6 = 16 \cdot \frac{1 - (1/2)^6}{1 - 1/2} = 16 \cdot \frac{1 - 1/64}{1/2} = 16 \cdot \frac{63/64}{1/2} = 16 \cdot \frac{63}{32} = \underline{\underline{\frac{63}{2}}} \]
Tilfelle 2: \(k = -\frac{1}{2}\), da er \(a_1 = \frac{8}{-1/2} = -16\)
\[s_6 = -16 \cdot \frac{1 - (-1/2)^6}{1 - (-1/2)} = -16 \cdot \frac{1 - 1/64}{3/2} = -16 \cdot \frac{63/64}{3/2} = -16 \cdot \frac{63}{96} = \underline{\underline{-\frac{21}{2}}} \]