Oppgaven er hentet fra eksamen S2 H25 del 1 oppgave 2.

S2 H2025 ulike rekker del 1 S2 H2025 ulike rekker del 1

Ta utgangspunkt i den aritmetiske rekken

\[-3+0+3+\ldots+69 \]

Oppgave

Bestem summen av rekken.

Ta utgangspunkt i den uendelige geometriske rekken

\[5+5 \cdot\left(\frac{1}{2}-x\right)+5 \cdot\left(\frac{1}{2}-x\right)^2+\ldots \]

Oppgave

Bestem konvergensområdet til rekken.

En ball faller fra 2 meters høyde. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den opp til en høyde som er \(75 \%\) av høyden den falt fra.

Oppgave

Hvor mange meter vil ballen bevege seg totalt?

Fasit

a) 825
b) \(x \in \left\langle - \frac{1}{2} ,\frac{3}{2} \right\rangle\)
c) 14 meter

Løsningsforslag

a

Vi kjenner \(a_{1}=-3\) og \(a_{n}=69\), men vi kjenner ikke \(n\). Vi bruker derfor formelen for ledd i aritmetisk følge

\[\begin{aligned} a_{n}&=a_{1}+(n-1)\cdot d \\ 69&=-3 + (n-1)\cdot 3 \\ \frac{69}{3} &=\frac{-\cancel{ 3 }+(n-1)\cdot \cancel{ 3 }}{\cancel{ 3 }} \\ 23&=-1+(n-1) \\ 23 + 1+1&=n \\ n&=25 \end{aligned} \]

Summen av den aritmetisk rekka er dermed

\[s_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n =\frac{-3+69}{2}\cdot 25=\frac{66}{2}\cdot 25=33 \cdot 25 = \underline{\underline{825}} \]

b

Konvergensområdet er de verdiene av \(x\) som tilfredsstiller \(-1, der \(k(x)=\frac{1}{2}-x\).

\[\begin{aligned} -1& -\frac{1}{2} + x > -1 \\ 1 + \frac{1}{2} &> -\cancel{ \frac{1}{2} } + x + \cancel{ \frac{1}{2} } > -1 + \frac{1}{2}\\ \frac{3}{2} &> x > -\frac{1}{2} \end{aligned} \]

Konvergensområdet for rekka er \(\underline{\underline{x \in \left\langle-\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right\rangle}}\).

c

Ballen vil bevege seg på følgende måte:

\(2\) m ned
\(2 \cdot 0{,}75=1{,}5\) m opp
\(2\cdot 0{,}75=1{,}5\) m ned
\(1{,}5 \cdot 0{,}75 =1{,}125\) m opp
\(1{,}5 \cdot 0{,}75 =1{,}125\) m ned
Og så videre ...

Ballens totale distanse kan altså modelleres ved hjelp av to geometriske rekker, \(a\) for distansen nedover, og \(b\) for distansen oppover. Vi har \(k=0{,}75\), samt startverdiene \(a_{1}=2\) og \(b_{1}=1{,}5\)

\[\begin{aligned} s_{a}&=\frac{a_{1}}{1-k}=\frac{2}{1-\frac{3}{4}}=\frac{2}{\frac{1}{4}}=\frac{2 \cdot 4}{\frac{1}{4}\cdot 4}=\frac{8}{1}=8 \\ s_{b}&=\frac{b_{1}}{1-k}=\frac{1{,}5}{1-\frac{3}{4}}=\frac{1{,}5}{\frac{1}{4}}=\frac{1{,}5 \cdot 4}{\frac{1}{4}\cdot 4}=\frac{6}{1}=6 \end{aligned} \]

Ballen vil totalt bevege seg 14 meter.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Rekker

Oppgave	Fag	År	Oppg
Annuitetslån og serielån Pia	S2	V19	2-4
Aritmetisk rekke med formel	S2	V19	1-4
Sprettball og uendelig rekke	S2	V19	1-5
Aritmetisk rekke med sum	S2	H19	1-2
Lønnsøkning og videreutdanning	S2	H19	2-4
Uendelig geometrisk rekke og desimaltall	S2	H19	1-3
Annuitetslån og serielån	S2	V20	2-4
Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke	S2	V20	1-3
Geometrisk rekke og sparing	S2	H20	1-3
Sum av aritmetisk rekke	S2	H20	1-2
Virkestoff og halveringstid	S2	H20	2-4
Spareavtale og aksjefond	S2	V21	2-2
Summer av rekker	S2	V21	1-2
Aritmetisk rekke med sumformel	S2	H21	1-3
Camillas aksjefond	S2	H21	2-2
Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser	S2	V22	1-3
Sparing og annuitetslån Camilla	S2	V22	2-3
Virkestoff i tablett	S2	V22	1-4
Sparing og annuitetslån	S2	H22	2-2
Mønster med sirkler i figurer	2P-Y	V23	1-4
Sum av aritmetisk rekke med kode	R2	V23	1-4
Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel	S2	V23	1-4
Annuitetslån	S2	V23	2-1
Hildegunns ukepenger	S2, R2	V23	2-4
Ukjent program del 1 S2	S2	V23	1-4
Aritmetisk mur	S2	E22	1-2
Begrunn at uendelig rekke konvergerer	S2	H22	1-2
Idas jakke	S2	H22	1-5
Summen av repeterende brøker	S2	Ingen	Ingen
Linjestykker og geometrisk vekst	1P, 1T	H23	2-6
Kvadratserie geometrisk rekke	2P	H23	2-7
Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke	S2	E22	1-3
Aritmetisk rekke	S2, R2	H23	1-2b
Uendelig geometrisk rekke	S2, R2	H23	1-2a
Miriam og Hermods sparing	S2	H23	2-2
Rekursiv sammenheng mellom pentagontall	S2	H23	2-4
Summer av oddetall og programmering	1T	V24	2-4
Ukjent program S2 v24	S2, R2	V24	1-3
Kubikktall	S2	V24	2-4
Olivias annuitetslån	S2	V24	2-3
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Uendelig logaritmisk rekke	S2, R2	Ingen	2-2.158
Sumformel, kvotient og geometrisk rekke	R2	H24	1-2
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Oles studielån	S2	H24	2-5
Rekursiv formel og programmering	S2, R2	H24	2-4
Tallfølge med programmering og induksjon	R2	V25	1-3
Noras sparing og lån	S2, R2	V25	2-4
Ukjente programmer S2 v25	S2	V25	1-4
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Trekantmønster og programmering 2P-Y H25	2P-Y	H25	1-6
Aritmetisk og geometrisk rekke	R2	H25	1-6
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
Induksjonsbevis for geometrisk rekke	R2	H25	1-8
Gråmønster i likesidet trekant	1T	H25	2-4
Mathias sine lån for å kjøpe bil Mathias sine lån for å kjøpe bil	S2	H25	2-4

Aritmetisk rekke

Oppgave	Fag	År	Oppg
Hildegunns ukepenger	S2, R2	V23	2-4
Ukjent program del 1 S2	S2	V23	1-4
Aritmetisk rekke	S2, R2	H23	1-2b
Ukjent program S2 v24	S2, R2	V24	1-3
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Aritmetisk og geometrisk rekke	R2	H25	1-6

Geometrisk rekke

Oppgave	Fag	År	Oppg
Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel	S2	V23	1-4
Hildegunns ukepenger	S2, R2	V23	2-4
Uendelig geometrisk rekke	S2, R2	H23	1-2a
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Induksjonsbevis for geometrisk rekke	R2	H25	1-8

Uendelig rekke

Oppgave	Fag	År	Oppg
Sprettball og uendelig rekke	S2	V19	1-5
Uendelig geometrisk rekke og desimaltall	S2	H19	1-3
Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke	S2	V20	1-3
Geometrisk rekke og sparing	S2	H20	1-3
Virkestoff og halveringstid	S2	H20	2-4
Summer av rekker	S2	V21	1-2
Virkestoff i tablett	S2	V22	1-4
Uendelig rekke med virkestoff fra legemiddel	S2	V23	1-4
Uendelig geometrisk rekke	S2, R2	H23	1-2a
Sum av integralrekke	R2	V24	2-6
Uendelig logaritmisk rekke	S2, R2	Ingen	2-2.158
Sumformel, kvotient og geometrisk rekke	R2	H24	1-2
Aritmetiske og geometriske rekker h24	S2	H24	1-2
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Aritmetisk og geometrisk rekke	R2	H25	1-6
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad Simulering av antall terningkast for å få samme antall øyne i to kast på rad	S2	H25	2-6

Konvergens

Oppgave	Fag	År	Oppg
Påstand om sum av rekke	S2	H24	2-3a
Aritmetisk og geometrisk rekke	R2	H25	1-6
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3