Kvadratserie geometrisk rekke

a) Samlet omkrets \(= 40 + 36 + 32{,}4 = \underline{\underline{108{,}4 \, \mathrm{cm}}}\)
b) \(\underline{\underline{T = 400 \, \mathrm{cm}}}\)
c) Sammenhengen er lineær: \(T = 40 \cdot s\)
d) Oles formel stemmer.

a

Sidekantene i de tre første kvadratene er

Omkretsene er

Samlet:

b

Omkretsene danner en geometrisk rekke med første ledd \(a_1 = 40\) og kvotient \(k = 0{,}9\).
Siden \(|k| < 1\) konvergerer rekken, og summen av uendelig mange ledd er

Program (Python):

s = 10       # sidekant første kvadrat
k = 0.9      # kvotient
total = 0
while s > 0.0001:
    total += 4 * s
    s = s * k
print(total)  # → 400.0

c

Vi lager nye serier der vi bare endrer størrelsen \(s\) på det største kvadratet, men beholder at hvert neste kvadrat er \(10 \,\%\) kortere. For en serie med største sidekant \(s\) er første omkretsled \(a_1 = 4s\) og kvotienten fortsatt \(k = 0{,}9\).

Samlet omkrets:

Sammenhengen er altså lineær: den samlede omkretsen er 40 ganger sidekanten i det største kvadratet.

Grafen (se T(s) = 40s i utklippet) bekrefter at sammenhengen er en rett linje gjennom origo. For \(s = 10\) er \(T = 400\), markert som punkt \(A = (10, 400)\).

d

For en serie der sidekantene reduseres med \(p \,\%\) for hvert ledd, er kvotienten

Første ledd er \(a_1 = 4s\), og sumformelen gir

Dette er nøyaktig Oles formel \(T = \dfrac{4 \cdot s}{p} \cdot 100\). Formelen stemmer.

Vi kan sjekke med \(s = 10\) og \(p = 10\):

Dette stemmer med svaret fra b).