Oppgaven er hentet fra eksamen S1 H23 del 2 oppgave 3.

Renter og dobbelttid

Per og Kåre setter inn like store beløp på hver sin konto. Per får en årlig rente på 3,00 prosent, mens Kåre får en årlig rente på 6,00 prosent.

Oppgave

Hvilket beløp må Per sette inn dersom han skal ha 30 000 kroner på kontoen etter 8 år?

Påstand

Det vil gå nøyaktig dobbelt så lang tid før beløpet Per har på konto, har doblet seg, som det vil gå før beløpet Kåre har på konto, har doblet seg.

Oppgave

Argumenter for at påstanden ikke er riktig.
Hvor lang tid vil det gå før Per og Kåre til sammen har dobbelt så mye penger som de satte inn på kontoene, dersom den årlige renten er henholdsvis 3,00 prosent og 6,00 prosent?

Fasit

a) \(\approx 23\,682 \, \mathrm{kr}\)
b) Forholdet er \(\approx 1{,}97\), ikke nøyaktig 2
c) \(\approx 15{,}2 \, \mathrm{år}\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

a

Per sin konto vokser med vekstfaktor \(1{,}03\) per år. Etter 8 år skal han ha 30 000 kr:

\[K_0 \cdot 1{,}03^8 = 30\,000 \]

\[K_0 = \frac{30\,000}{1{,}03^8} \]

Vi regner ut i CAS, se linje 1 i utklippet.

GeoGebra CAS: renter og dobbelttid

Per må sette inn \(\underline{\underline{\approx 23\,682 \, \mathrm{kr}}}\).

b

Dobbelttiden finner vi ved å løse \(1{,}03^t = 2\) og \(1{,}06^t = 2\):

\[t_{\text{Per}} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}45 \, \text{år} \]

\[t_{\text{Kåre}} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}90 \, \text{år} \]

Se linje 2 og 3 i CAS-utklippet. Forholdet mellom dobbelttidene er (linje 4):

\[\frac{t_{\text{Per}}}{t_{\text{Kåre}}} = \frac{\ln 1{,}06}{\ln 1{,}03} \approx 1{,}97 \]

Forholdet er ikke nøyaktig 2. For at det skulle vært nøyaktig 2, måtte \(\ln 1{,}06 = 2 \cdot \ln 1{,}03 = \ln 1{,}03^2 = \ln 1{,}0609\), men \(\ln 1{,}06 \neq \ln 1{,}0609\).

Påstanden er altså ikke riktig — dobbelttiden til Per er ca. \(1{,}97\) ganger dobbelttiden til Kåre, ikke nøyaktig 2 ganger.

c

La \(K_0\) være beløpet hver setter inn. Samlet beløp etter \(t\) år:

\[K_0 \cdot 1{,}03^t + K_0 \cdot 1{,}06^t = 2 \cdot 2K_0 \]

Vi deler på \(K_0\):

\[1{,}03^t + 1{,}06^t = 4 \]

Vi tegner \(h(t) = 1{,}03^t + 1{,}06^t\) og linjen \(y = 4\) i GeoGebra og finner skjæringspunktet:

Graf: h(t) = 1,03^t + 1,06^t og y = 4

Fra grafen leser vi av at \(h(t) = 4\) når \(t \approx 15{,}2\).

Det vil gå omtrent \(\underline{\underline{15{,}2 \, \text{år}}}\) før de til sammen har dobbelt så mye.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S1.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Geometrisk vekst

Oppgave	Fag	År	Oppg
Lønnsøkning og videreutdanning	S2	H19	2-4
Prisvekst og prisfall sammenligning	2P-Y, 2P	V23	2-3
Linjestykker og geometrisk vekst	1P, 1T	H23	2-6
Kvadratserie geometrisk rekke	2P	H23	2-7
Avisabonnenter og eksponentialfunksjon	1P	H24	2-1
Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart	1T	H24	2-1
Lars sin spareplan	1P	V25	1-7
Aritmetisk og geometrisk rekke	R2	H25	1-6
CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke	R2	H25	2-3
Bankinnskudd med rente bakover	1T	H25	1-4

Logaritmer

Oppgave	Fag	År	Oppg
Derivasjon av tre typer funksjoner	S2	V19	1-1
Derivasjon av funksjoner	S2	H19	1-1
Enkel derivasjon	S2	V20	1-1
Derivasjon av sammensatte funksjoner	S2	H20	1-1
Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter	S2	H20	1-8
Derivasjon med logaritme og eksponential	S2	V21	1-1
Logaritmefunksjon med drøfting	S2	V21	1-6
Derivasjon med eksponential og logaritme	S2	H21	1-1
Logaritmefunksjon ln x delt på x	S2	H21	1-5
Derivasjon av tre funksjoner	S2	V22	1-1
Avgjør påstander om funksjoner	R1	V23	2-3
Derivasjon av eksponential og logaritme	R1	V23	1-1
Deriver logaritmefunksjon	S1	V23	1-2
Logaritmepåstand	S1, R1	V23	2-2a
Lydstyrke fra fly	S1, R1	V23	2-6
Logaritmer i stigende rekkefølge	S1	H23	1-2
Deriver x ln(x)	R1	H23	1-1
Sorter tallene i riktig rekkefølge	R1	H23	1-2
Derivasjon med produktregel og ln	S1, R1	V24	1-1
Logaritme- og binomialpåstander	S1	V24	2-2
Logaritmeligningen med substitusjon	S1, R1	V24	1-2
Momentmagnitudeskala og energi	R1	V24	2-4
Påstander om logaritme, derivasjon og invers	R1	V24	2-2
Bestem grunntall i logaritmefunksjon	S1, R1	H24	2-3
Eksponentiallikning med substitusjon	S1, R1	H24	1-3
Etterspørsel av vare	S2	H24	2-6
Eksponential- og logaritmelikninger	R1	V25	1-3
Tangent til ln og trekantareal	R1	V25	2-5
Logaritmeligninger	R1	H25	1-2
Logaritmiske likninger og logbaser	S1	H25	1-2
Luktintensitet og logaritmer	S1	H25	2-5
Luktintensitet og logaritmisk modell	R1	H25	2-3
Topp- og bunnpunkter med ln	S1	H25	1-5

Sparing

Oppgave	Fag	År	Oppg
Spareavtale og aksjefond	S2	V21	2-2
Camillas aksjefond	S2	H21	2-2
Sparing og annuitetslån Camilla	S2	V22	2-3
Sparing og annuitetslån	S2	H22	2-2
Ole Magnus sin sparekonto	S2	V16	2-4
Miriam og Hermods sparing	S2	H23	2-2
Gautes sparekonto	1P	V24	2-2
Noras sparing og lån	S2, R2	V25	2-4
Lars sin spareplan	1P	V25	1-7
Investeringer og avkastning	2P-Y, 2P	H25	2-4
Programmering av Willys spareplan	S2	H25	2-5
Johanns spareplan	2P	H25	1-8
Ellas BSU-sparing	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	H25	2-3
Chris lån og sparing for å ta førerkort	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y DT, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V24	2-3
Programmering av Theas BSU-konto	2P-Y	V24	2-6
Fastrenteinnskudd og renteinntekter	2P-Y	V24	2-2
Oda sitt budsjett og sparing	1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y DT, 1P-Y BA, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V24	1-2