Eksponential- og logaritmelikninger
Løs likningene
Oppgave
- \(3^{3x+2} - 5 = 76\)
- \(3\lg x + 2\lg x^2 + \lg\dfrac{1}{x^9} = 2\)
Fasit
a) \(\underline{\underline{x = \dfrac{2}{3}}}\)
b) \(\underline{\underline{x = \dfrac{1}{10}}}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi skriver 81 som en potens med grunntall 3:
\[81 = 3^4 \]
Likningen blir da
\[3^{3x+2} - 5 = 76 \]
\[3^{3x+2} = 81 = 3^4 \]
Siden grunntalene er like, kan vi sette eksponentene like:
\[3x + 2 = 4 \]
\[3x = 2 \]
\[\underline{\underline{x = \dfrac{2}{3}}} \]
b
Vi bruker logaritmereglene for å forenkle venstresiden:
\[3\lg x + 2\lg x^2 + \lg\dfrac{1}{x^9} \]
Først bruker vi potensregelen \(\lg a^n = n \lg a\):
\[= 3\lg x + 2 \cdot 2\lg x + \lg x^{-9} \]
\[= 3\lg x + 4\lg x + (-9)\lg x \]
\[= (3 + 4 - 9)\lg x \]
\[= -2\lg x \]
Likningen er altså
\[-2\lg x = 2 \]
\[\lg x = -1 \]
\[\underline{\underline{x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10}}} \]