Utslipp geometrisk rekke og programmering
En bedrift vil redusere utslippet av et forurenset stoff med 5 % hvert år framover. I år er utslippet på 40 tonn.
- Vis at det samlede utslippet i år og de to neste årene vil være på 114,1 tonn.
- Lag et program du kan bruke for å bestemme det samlede utslippet for denne bedriften over svært lang tid.
Tenk deg at en annen bedrift har et utslipp som er lavere eller høyere enn 40 tonn i år. Denne bedriften vil også redusere utslippet med 5 % hvert år framover.
- Undersøk sammenhengen mellom utslippet i år og det samlede utslippet over svært lang tid.
Ole påstår at \(T = \dfrac{u}{p} \cdot 100\) er en formel for å regne ut det samlede utslippet \(T\) når utslippet i år er \(u\) og utslippet reduseres med \(p\) % hvert år framover.
- Undersøk om denne sammenhengen kan gjelde.
a) 40 + 38 + 36,1 = 114,1 tonn ✓ b) Program med løkke → 800 tonn c) T = 20u d) Oles formel T = u/p · 100 er riktig
a
Utslippet i år er \(u_0 = 40\) tonn. Det reduseres med 5 % hvert år, så vekstfaktoren er \(k = 0{,}95\).
- I år (år 0): \(40 \text{ tonn}\)
- Neste år (år 1): \(40 \cdot 0{,}95 = 38 \text{ tonn}\)
- Året etter (år 2): \(40 \cdot 0{,}95^2 = 40 \cdot 0{,}9025 = 36{,}1 \text{ tonn}\)
Samlet utslipp over tre år:
b
Vi bruker en løkke som summerer utslippet over mange år (f.eks. 1000 år):
utslipp = 40
total = 0
for i in range(1000):
total += utslipp
utslipp = utslipp * 0.95
print(total)
Programmet gir: Samlet utslipp ≈ 800 tonn.
c
Dersom utslippet i år er \(u\) (i stedet for 40) og reduksjonen fortsatt er 5 % per år:
Vi prøver noen verdier:
| Utslipp i år (\(u\)) | Samlet utslipp (\(T\)) | Forholdet \(T/u\) |
|---|---|---|
| 40 | 800 | 20 |
| 20 | 400 | 20 |
| 100 | 2000 | 20 |
Det samlede utslippet er alltid \(T = 20 \cdot u\) – altså 20 ganger utslippet i år.
d
Oles formel er \(T = \dfrac{u}{p} \cdot 100\).
Med \(u = 40\) og \(p = 5\):
Dette stemmer med svaret i b) og c). La oss sjekke at formelen er generell: En uendelig geometrisk rekke med første ledd \(u\) og kvotient \(k = 1 - \frac{p}{100}\) har summen
Oles formel \(T = \dfrac{u}{p} \cdot 100\) er riktig – den gir det samlede utslippet når utslippet reduseres med \(p\) % hvert år.