Rekursiv sammenheng mellom pentagontall
Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La \(P_{n}\) være antall kuler i figur \(n\).
De fem første figurtallene er 1, 6, 16, 31 og 51
Oppgave
- Beskriv en rekursiv sammenheng mellom \(P_{n}\) og \(P_{n-1}\).
- Lag et program som regner ut \(P_{1000}\) ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a)
Fasit
a) \(P_{n}=P_{n-1}+(n-1)\cdot d\), der \(d=5\).
b) Se løsningsforslag for programkode.
Løsningsforslag
a
Jeg ser at differansen mellom antall kuler i figurene øker med 5, 10, 15, 20. La oss kalle denne differansen for \(d\). Vi kan si at \(P_{2}=P_{1}+5=P_{1}+d\) og \(P_{3}=P_{2}+2d\). Vi ser dermed et mønster og kan sette opp følgende sammenheng for \(n\geq 2\):
\[P_{n}=P_{n-1}+(n-1)\cdot d \]
b
a = 1
d = 5
n = 100
for i in range(2, n + 1):
a = a + d * (i-1)
print(f"Det er {a} kuler i figur {n}.")
Programmet gir at \(P_{100}=24\,751\).